Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 34 стр.

                        1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

времени процесса управления [t0 , T ] , начальное положение объекта x0 ∈ S0 (t0 ) и

реализация вектора управляющих параметров
                                   u (⋅) ∈ D 0 [ t0 , T ] , u (t ) ∈ P ⊂ R r , t ∈ [ t0 , T ] .

         Сначала определяется движение x (⋅) = x (⋅, t0 , x0 , u (⋅)) динамического объек-

та, отвечающее реализации вектора управляющих воздействий u (⋅) ∈ D 0 [ t0 , T ] ,

u (t ) ∈ P ,   t ∈ [ t0 , T ] и выходящее из начального положения x0 ∈ S0 (t0 ) . Оно нахо-

дится в результате решения задачи Коши (4.1), например, с помощью формулы
Коши (5.1). В конечный момент времени T это движение должно удовлетво-
рять граничному условию x (T ) ∈ S1 (T ) . В противном случае оценивать качество

управления динамическим объектом не имеет смысла. Далее для пары (u (⋅) , x (⋅))

вычисляется значение функционала (1). Полученное число и является количе-
ственной оценкой качества управления динамическим объектом.
         Пример 9*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                     ⎛ x1 ⎟⎞ ⎛1 4 1⎞⎛     ⎟⎟⎜⎜ x1 ⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜1 0 0⎞⎛
                                                                                ⎟⎟⎜⎜ u1 ⎞⎟⎟
                                     ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜
                                      ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ = ⎜⎜1 1 1⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟ + ⎜⎜0 1 0⎟⎟⎜⎜u2 ⎟⎟ ,
                                       ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜            ⎟⎟⎜ ⎟⎟ ⎜             ⎟ ⎟
                                                             ⎟⎟⎜⎜ x ⎟⎟ ⎜⎜0 0 1⎟⎟⎟⎜⎜⎜ u ⎟⎟⎟
                                        ⎜⎝ x 3 ⎟⎠ ⎜⎝2 −4 1⎠⎝      3⎠  ⎝       ⎠⎝ 3 ⎠

для которого
                               ⎛1 4 1⎞⎟           ⎛1 0 0⎞⎟           ⎛0⎞⎟
                               ⎜⎜         ⎟⎟       ⎜⎜     ⎟⎟          ⎜⎜ ⎟
                       A(t ) ≡ ⎜1 1 1⎟ , B (t ) ≡ ⎜0 1 0⎟ , C (t ) ≡ ⎜⎜0⎟⎟⎟ , t ∈ [ t0 , T ] .
                                ⎜          ⎟        ⎜      ⎟
                                ⎜⎜         ⎟⎟       ⎜⎜     ⎟⎟          ⎜⎜ ⎟⎟
                                 ⎝⎜2 −4 1⎠⎟       ⎝⎜0 0 1⎠⎟          ⎝⎜0⎠⎟

         Полагаем
                                                                ⎧⎛1⎞⎪
                                                                ⎪           ⎫
                                                                ⎪
                                                                ⎪    ⎜⎜ ⎟⎟⎪ ⎪
          θ0 = {t0 } = {0} , θ1 = {T } = {1} , , S0 = { x0 } = ⎪⎨⎜⎜1⎟⎟⎟⎪⎬ ∈ R 3 , S1 = { xT ∈ R n xT ≤ 50} ,
                                                               ⎪⎪⎪⎜⎝⎜⎜1⎠⎟⎟⎟⎪⎪⎪
                                                               ⎪ ⎭
                                                               ⎩           ⎪
                                                T
                                                                                      2           2
                           I ⎡⎣u (⋅) , x (⋅)⎤⎦ = ∫   u (t ) , x (t ) dt +     x (t0 ) + x (T ) ,
                                                t0


                                                               ⎛ sin t ⎞⎟
                                                               ⎜⎜       ⎟
                                      {                      }
                                P = u ∈ R 3 u ≤ 2 , uˆ (t ) = ⎜⎜cos t ⎟⎟⎟ , t ∈ [0, 1] .
                                                                ⎜⎜      ⎟
                                                                 ⎜⎝ t ⎠⎟⎟




                                                               34