Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
35
Реализуем описанную выше схему оценки качества управления динамиче-
ским объектом для рассматриваемого случая. В примере 5 для однородной
системы дифференциальных уравнений
11
22
33
141
111
241
x
x
x
x
x
x
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
=
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
−
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
была построена фундаментальная матрица Коши
[]
(
)
()
()
(
)
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() () () ()
33 3
33
41 22
55 55 55
7
14 4
555
33 3
33
22 1 4
5 5 5 5 10 10
12 1
5510
cos cos cos
sin sin sin
cos cos cos
, sin sin sin
2sin 4sin cos sin
tt t
tt t
etetet
ttt
etete t
Xt t t t
tttt
ττ τ
ττ τ
ττ τ
τττ
ττ τ
ττ τ τ
ττττ
−− −
−− −
⎛
+ −− − −+ −−−
⎜
⎜
⎜
⎜
−− + −−−
⎜
−−− + − + −−+
= −− + − + −
−−−−+ −
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
.
Для управления
(
ˆ
u
⋅
по формуле (5.1) находим
(
)
(
)
00
ˆˆ
(, , , )xt xtt x u
=
⋅=
()
(
)
(
)
()()()
333
121
555
33 3
11 1
55 10
4 cos 7sin 4 cos 7 sin 3 3cos 4sin
1
2 2cos sin 2 4cos 2sin 3 3cos sin 1
1
2sin 4sin cos sin
ttt
tt t
ett ett e tt
ettettett
tttt
⎛⎞
+− −+ − −
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−− ++ −+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−+
⎝⎠
⎝⎠
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() () () ()
33 3
33
41 22
55 55 55
7
14 4
555
33 3
33
22 14
55 55 1010
12 1
5510
cos cos cos
sin sin sin
cos cos cos
sin sin sin
2sin 4sin cos sin
tt t
tt t
etetet
ttt
etete t
tt t
tttt
ττ τ
ττ τ
ττ τ
τττ
ττ τ
ττ τ
ττττ
−− −
−− −
⎛
+−− −−+ −−−
⎜
−− + − −−
⎜
⎜
⎜
⎜
−−− +−+ − −+
⎜
⎜
+− − + − + −
⎜
⎜
−−− −+−
⎝
0
sin
cos
t
d
τ
τ
τ
τ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
⎟
⎜⎟
⎟
=
⎜⎟
⎟
⎜⎟
⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎠
∫
. 
                              1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

          Реализуем описанную выше схему оценки качества управления динамиче-
ским объектом для рассматриваемого случая. В примере 5 для однородной
системы дифференциальных уравнений
                                                            ⎛ x1 ⎞⎟ ⎛1 4 1⎞⎛     ⎟⎟⎜⎜ x1 ⎞⎟⎟
                                                            ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜
                                                             ⎜⎜ x 2 ⎟ = ⎜⎜1 1 1⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟
                                                                        ⎟
                                                              ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜            ⎟⎟⎜ ⎟⎟
                                                                                    ⎟⎟⎜⎜ x ⎟⎟
                                                               ⎝⎜ x 3 ⎠⎟ ⎝⎜2 −4 1⎠⎝      3⎠


была построена фундаментальная матрица Коши
                 ⎛ 4 e3(t−τ ) + 1 cos (t − τ ) −     2 3(t −τ )
                                                                − 52 cos (t − τ ) +                                       e(
                                                                                                                           3 t −τ )
                                                                                                                                   − 53 cos (t − τ ) − ⎞⎟
                                                     5e
                                                                                                                      3
                  ⎜⎜ 5               5                                                                                5                                 ⎟⎟
                   ⎜ 7                                                                                                                                   ⎟⎟
                 ⎜⎜⎜− 5 sin (t − τ )                 + 145 sin (t − τ )                                               − 5 sin (t − τ )
                                                                                                                         4
                                                                                                                                                          ⎟⎟
                   ⎜⎜                                                                                                                                      ⎟⎟
                    ⎜⎜                                                                                                                                      ⎟⎟
                     ⎜⎜ 2 3(t−τ ) 2                                                                                                                          ⎟⎟
                                                     1 3(t −τ )                                                            (     )                            ⎟⎟
                                  − 5 cos (t − τ ) −            + 54 cos (t − τ ) +                                                          (      )
                                                                                                                          3 t −τ
                      ⎜⎜ 5 e                         5e
                                                                                                                      3
                                                                                                                        e          −  3
                                                                                                                                        cos   t − τ   +
                       ⎜
                                                                                                                     10              10
                                                                                                                                                               ⎟⎟
    X [t , τ ] = ⎜⎜⎜− 15 sin (t − τ )                + 52 sin (t − τ )                                               + 101 sin (t − τ )                         ⎟⎟ .
                                                                                                                                                                 ⎟⎟
                       ⎜⎜                                                                                                                                         ⎟⎟
                        ⎜⎜                                                                                                                                         ⎟⎟
                         ⎜⎜                                                                                                                                         ⎟
                          ⎜⎜      2sin (t − τ )              −4sin (t − τ )                                            cos (t − τ ) + sin (t − τ ) ⎟⎟
                                                                                                                                                                    ⎟⎟
                           ⎜⎜                                                                                                                                        ⎟⎟
                            ⎜⎜                                                                                                                                        ⎟⎟
                             ⎜⎜                                                                                                                                        ⎟⎟
                              ⎜⎜⎝                                                                                                                                       ⎟⎟⎠
                                                                                                                                                                          ⎟
                 ⎜⎜                                                                                                                                    ⎟⎟
Для управления û ( ⋅) по формуле (5.1) находим

                                                            xˆ ( t ) = x(t , t0 , x0 , uˆ ( ⋅)) =

              ⎛ 15 ( 4e3t + cos t − 7 sin t )           2
                                                        5   ( 4e   3t
                                                                        − cos t + 7 sin t )
                                                                                         ( 3e − 3cos t − 4sin t ) ⎞⎟ ⎛1⎞
                                                                                                    1
                                                                                                    5
                                                                                                               3t

              ⎜
            = ⎜ 15 ( 2e3t − 2 cos t − sin t )
              ⎜
                                                    1
                                                    5   ( 2e   3t
                                                                    + 4 cos t + 2sin t )   ( 3e − 3cos t + sin t ) ⎟⎟ ⎜⎜1⎟⎟ +
                                                                                                     1
                                                                                                    10
                                                                                                                3t

                                                                                                                                                       ⎜ ⎟
              ⎜            2sin t                                       −4sin t                                     cos t + sin t                    ⎟ ⎝ 1⎠
              ⎝                                                                                                                                      ⎠
        ⎛ 54 e3(t −τ ) + 15 cos ( t − τ ) −   2
                                                  e(
                                                   3 t −τ )
                                                              − 52 cos ( t − τ ) +             3
                                                                                                   e(
                                                                                                    3 t −τ )
                                                                                                             − 53 cos ( t − τ ) − ⎞
        ⎜                                     5                                                5
                                                                                                                                   ⎟
        ⎜ − 75 sin ( t − τ )                  + 145 sin ( t − τ )                              − 54 sin ( t − τ )                  ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎜ 2 e3(t −τ ) − 2 cos ( t − τ ) −         e(
                                                  3 t −τ )
                                                              + 54 cos ( t − τ ) +
                                                                                                   3( t −τ )
                                                                                                             − 103 cos ( t − τ ) + ⎟ ⎛ sin τ ⎞
                                                                                              10 e
                                              1                                                3
      t ⎜5               5                    5                                                                                    ⎟
    + ∫ ⎜ − 15 sin ( t − τ )                  + 52 sin ( t − τ )                              + 10 sin ( t − τ )
                                                                                                 1                                 ⎟ ⎜ cos τ ⎟ dτ = .
        ⎜                                                                                                                          ⎟ ⎜⎜      ⎟
                                                                                                                                             ⎟
      0
        ⎜                                                                                                                          ⎟⎝    τ   ⎠
        ⎜            2sin ( t − τ )                         −4sin ( t − τ )                     cos ( t − τ ) + sin ( t − τ )      ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎜                                                                                                                          ⎟
        ⎝                                                                                                                          ⎠




                                                                              35

Страницы