Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
32
() [ ] [ ] () () () [ ] ( ) ( ) [ ] ()
,, , ,
t
s
A
tXtsx XttBtut AtXt B u d Xtt Ctττ ττ
∗
=+ + ++
∫
() [ ] ( )
,
t
s
At Xt C dτττ+=
∫
() [ ] [ ]()() [ ] () ()() ()
,, ,
tt
ss
A
tXtsx XtBu d Xt C d BtutWtττ ττ τ ττ
∗
⎡⎤
⎢⎥
=+ + ++=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
() () () () ()
1
,At xt Btut Ct t R=++∈ .
Теорема доказана.
Для однородной системы дифференциальных уравнений (т.е., если
() ()
0, 0Bt Ct≡≡) формула Коши принимает вид
[]
1
() , ,
x
tXtsxtR
∗
= ∈ .
Тогда решение
(
)
ψ
⋅
сопряженной системы дифференциальных уравнений (3.7),
удовлетворяющее условию
(
)
s
ψ
ψ
∗
, можно записать в виде
()
[]
{
}
11
,,
T
tXts tR
ψ
ψ
−
∗
=
∈ . (2)
Пример 8*. Рассмотрим линейную управляемую систему
1
12122
,,
x
xux utR
=
+=∈

(3)
с начальными условиями
(
)
(
)
10,10
21
=
=
xx . (4)
В качестве реализации вектора управляющих воздействий выберем вектор-
функцию
12
:uR R→ , определенную формулой
()
(
)
()
1
1
2
,
2
ut
t
ut t R
ut
t
⎛⎞
⎛⎞
=
=∈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Нетрудно видеть, что после подстановки этой функции в (1) и интегри-
рования полученной системы дифференциальных уравнений с начальными усло-
виями (4) получим
()
32 2 1
12
11
( ) 1, 1,
32
x
ttttxtt tR=+++ =+∈. (5)
Покажем, что движение
(
)
⋅
x , определенное формулой Коши (1), совпада-
ет с выражением (5). Действительно, для данного примера имеем 
                       1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
                                                            t

        = A(t ) X [t , s ] x∗ + X [t , t ] B (t ) u (t ) + ∫ A(t ) X [t , τ ]B (τ ) u (τ ) d τ + X [t , t ] C (t ) +
                                                            s

                                                 t

                                             +∫ A(t ) X [t , τ ] C (τ ) d τ =
                                                 s
               ⎡                 t                               t                        ⎤
     = A (t ) ⎢⎢ X [t , s ] x∗ + ∫ X [t , τ ]B (τ ) u (τ ) d τ + ∫ X [t , τ ] C (τ ) d τ ⎥⎥ + B (t ) u (t ) + W (t ) =
               ⎣⎢                s                               s                        ⎦⎥
                                       = A (t ) x (t ) + B (t ) u (t ) + C (t ) , t ∈ R1 .

Теорема доказана.
      Для однородной системы дифференциальных уравнений (т.е., если
B ( t ) ≡ 0, C ( t ) ≡ 0 ) формула Коши принимает вид

                                                 x(t ) = X [t , s ] x∗ , t ∈ R1 .

Тогда решение ψ ( ⋅) сопряженной системы дифференциальных уравнений (3.7),

удовлетворяющее условию ψ ( s ) = ψ ∗ , можно записать в виде

                                            ψ ( t ) = { X −1 [t , s ]} ψ ∗ , t ∈ R1 .
                                                                     T
                                                                                                                         (2)

    Пример 8*. Рассмотрим линейную управляемую систему
                                                 x1 = x2 + u1 , x2 = u2 , t ∈ R1                                         (3)
с начальными условиями
                                                      x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 .                                          (4)
В качестве реализации вектора управляющих воздействий выберем вектор-
функцию u : R1 → R 2 , определенную формулой
                                                     ⎛ u1 ( t ) ⎞ ⎛ t ⎞
                                            u (t ) = ⎜          ⎟ =⎜ ⎟ , t∈R .
                                                                            1

                                                       u  ( t
                                                     ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠)     2t

    Нетрудно видеть, что после подстановки этой функции в (1) и интегри-
рования полученной системы дифференциальных уравнений с начальными усло-
виями (4) получим
                                              1     1
                                     x1 (t ) = t 3 + t 2 + t + 1, x2 ( t ) = t 2 + 1, t ∈ R1 .                           (5)
                                              3     2
    Покажем, что движение x (⋅) , определенное формулой Коши (1), совпада-
ет с выражением (5). Действительно, для данного примера имеем


                                                                32

Страницы