Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
30
существования и единственности такого движения. Заметим, что для любого
момента времени
[]
Ttt ,
0
∈ имеет место равенство
()() ()() ()
000
0
()
ttt
x
tx Axd Bud Cd
τττ
τττ τττ ττ=+++
∫∫∫
. (2)
Равенство (2) может служить и непосредственным определением движения
()
(
)
00
,, ,
x
txu⋅⋅
. Таким образом, движение объекта принадлежит классу
[
]
0
0
,DtT-
классу кусочно-дифференцируемых на промежутке
[]
0
,tT функций и удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (1) во всех точках промежутка
[
]
0
,tT
за ис-
ключением тех, где реализация вектора управляющих воздействий терпит разрыв.
Пример 7*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
[
]
[
]
11
00
,,,,0,4,0xuxRuR tT x= ∈∈ ==
.
Пусть реализация управляющего воздействия имеет вид
[
)
[
)
[
)
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈−
∈−
∈
∈
=
.4,3,1
,3,2,
,2,1,
,1,0,1
)(
t
tt
tt
t
tu
Построим движение, отвечающее данной реализации управляющего воздейст-
вия и выходящее из начального положения
0
0x = . Полагаем
3,2,1,0
3210
====
τ
τ
τ
τ
и проводим необходимые построения на каждом полу-
интервале
[
)
3,2,1,0,,
1
=
+
i
ii
τ
τ
. Последовательно определяем
[
)
1,0,)(,0,0
0
∈
=
=
= tttxxi ,
(
)
[
)
2,1,1
2
1
)(,1,1
2
1
∈+=== tttxxi
,
)
[
)
3,2,9
2
1
)(,
2
5
,2
2
2
∈−=== tttxxi
,
]
4,3,3)(,0,3
3
∈
−
=
=
= tttxxi . 
                   1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

существования и единственности такого движения. Заметим, что для любого
момента времени t ∈ [t 0 , T ] имеет место равенство
                                τ                          τ                        τ

                  x(t ) = x0 + ∫ A (τ ) x (τ ) d τ + ∫ B (τ ) u (τ ) d τ + ∫ C (τ ) d τ .                (2)
                                t0                         t0                       t0


      Равенство (2) может служить и непосредственным определением движения
x (⋅, t0 , x0 , u (⋅)) . Таким образом, движение объекта принадлежит классу D 0 [ t0 , T ] -

классу кусочно-дифференцируемых на промежутке [t0 , T ] функций и удовлетво-

ряет дифференциальному уравнению (1) во всех точках промежутка [t0 , T ] за ис-

ключением тех, где реализация вектора управляющих воздействий терпит разрыв.
      Пример 7*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                           x = u, x ∈ R1 , u ∈ R1 , [ t0 , T ] = [ 0, 4 ] , x0 = 0 .

Пусть реализация управляющего воздействия имеет вид
                                                      ⎧ 1,       t ∈ [0,1) ,
                                                      ⎪ t,       t ∈ [1,2 ) ,
                                                      ⎪
                                             u (t ) = ⎨
                                                      ⎪− t,      t ∈ [2,3) ,
                                                      ⎪⎩− 1,     t ∈ [3,4].

Построим движение, отвечающее данной реализации управляющего воздейст-
вия       и    выходящее               из      начального                положения       x0 = 0 .   Полагаем
τ 0 = 0, τ 1 = 1, τ 2 = 2, τ 3 = 3 и проводим необходимые построения на каждом полу-

интервале [τ i ,τ i +1 ), i = 0,1,2,3 . Последовательно определяем
                                       i = 0, x 0 = 0, x (t ) = t , t ∈ [0,1) ,

                               i = 1, x1 = 1, x (t ) =
                                                                2
                                                                  (t + 1), t ∈ [1,2) ,
                                                                1 2


                             i = 2, x 2 =
                                               5
                                               2
                                                          1
                                                                   (        )
                                                 , x(t ) = 9 − t 2 , t ∈ [2,3) ,
                                                          2
                                     i = 3, x3 = 0, x(t ) = 3 − t , t ∈ [3,4] .




                                                          30

Страницы