Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
18
()
()
()
1
1
ˆ
0,
s
i
i
i
x
txttRα
=
= ≡∈
∑
,
что и означает искомую линейную зависимость системы решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" . Лемма доказана.
Следствие. Пусть система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" линейно независима.
Тогда набор векторов
(
)
()
(
)
()
1
,,
s
x
txt" является линейно независимым при всех
1
tR∈
.
Доказательство. От противного приходим к существованию некоторого
значения
1
0
tR∈ , для которого набор векторов
(
)
()
(
)
()
1
,,
s
x
txt" является линейно
зависимым. Тогда по лемме 1 система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅"
должна быть за-
висимой, что противоречит исходным предположениям.
Установим критерий линейной зависимости и независимости системы
решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅"
уравнения (1).
Теорема 1. Система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" уравнения (1) является линей-
но зависимой или линейно независимой, тогда и только тогда когда соответ-
ственно линейно зависим или линейно независим набор векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
s
x
txt"
хотя бы при одном значении
1
0
tR∈ .
Доказательство. Необходимость теоремы вытекает непосредственно
из определения 1 и следствия из леммы 1. Достаточность в части линейной
зависимости системы решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" доказана в лемме 1. Наконец, ес-
ли набор векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
s
x
txt" является линейно независимым при некото-
ром значении
1
0
tR∈ , то для системы решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" равенство
()
()
0
1
0
s
i
i
i
xtα
=
=
∑
невозможно ни при каких ненулевых наборах констант
1
1
,,
s
R
αα∈" . Это озна-
чает, что система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" не является линейно зависимой, и по-
этому она линейно независима. Теорема доказана. 
                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
                                             s
                                   xˆ (t ) = ∑ αi x( ) (t ) ≡ 0, t ∈ R1 ,
                                                    i

                                            i =1


что        и   означает    искомую        линейную              зависимость   системы   решений
x( ) (⋅) ,", x( ) (⋅) . Лемма доказана.
  1            s




           Следствие. Пусть система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) линейно независима.

Тогда набор векторов x(1) (t ),", x(s) (t ) является линейно независимым при всех

t ∈ R1 .
           Доказательство. От противного приходим к существованию некоторого
значения t0 ∈ R1 , для которого набор векторов x(1) (t ),", x(s) (t ) является линейно

зависимым. Тогда по лемме 1 система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) должна быть за-

висимой, что противоречит исходным предположениям.
           Установим критерий линейной зависимости и независимости системы
решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) уравнения (1).

           Теорема 1. Система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) уравнения (1) является линей-

но зависимой или линейно независимой, тогда и только тогда когда соответ-
ственно линейно зависим или линейно независим набор векторов x(1) (t0 ),", x(s) (t0 )

хотя бы при одном значении t0 ∈ R1 .
           Доказательство. Необходимость теоремы вытекает непосредственно
из определения 1 и следствия из леммы 1. Достаточность в части линейной
зависимости системы решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) доказана в лемме 1. Наконец, ес-

ли набор векторов x(1) (t0 ),", x(s) (t0 ) является линейно независимым при некото-

ром значении t0 ∈ R1 , то для системы решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) равенство
                                            s

                                           ∑ α x( ) (t ) = 0
                                           i =1
                                                   i
                                                       i
                                                            0



невозможно ни при каких ненулевых наборах констант α1 ,", αs ∈ R1 . Это озна-

чает, что система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) не является линейно зависимой, и по-

этому она линейно независима. Теорема доказана.


                                                       18

Страницы