Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
13
движения
()
⋅
∗
y . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им
движений примем следующее представление:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅
∗∗
uvvxyy , . (10)
Здесь величины
() ()
⋅⋅ ux ,
полагаются малыми. Подставим выражения (10) в
уравнения (9). В результате получим
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
TtttutvtxtytYtxty ,,,,
0
∈++=+
∗∗∗
. (11)
С точностью до величин второго порядка малости по отношению к
(
)
(
)
⋅⋅ ux ,
из (11) выводим
() () () ()
()
() ()
(
)
() () ()
(
)
()
[]
TtttutvtytY
v
txtvtytY
y
tvtytYtxty ,,,,,,,,
0
∈
∂
∂
+
∂
∂
+=+
∗∗∗∗∗∗∗
.
Обозначая
() () ()
()
() () ()
(
)
[]
TtttvtytY
v
tBtvtytY
y
tA ,,,,,,,
0
∈
∂
∂
=
∂
∂
=
∗∗∗∗
(12)
и учитывая, что
()
(
)
(
)
(
)
[
]
TtttvtytYty ,,,,
0
∈=
∗∗∗
,
приходим к уравнениям (2), в которых
() [ ]
0
0, ,Ct t t T= ∈
.
Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный меха-
нический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-
но жесткий стержень длиной
2,1,
=
il
i
. Первое звено соединено с
неподвижным основанием мани-
пулятора вращательной парой
1
O , а со вторым звеном – враща-
тельной парой
2
O . Масса схвата
манипулятора –
m , центр масс
i
-го звена находится в середине стержня – точке
i
C , его масса –
i
m , момент инерции i -го звена относительно своего центра масс
–
2,1, =iI
i
. В соединительных парах могут развиваться управляющие вращатель-
ные моменты, соответственно,
1
v и
2
v ,
2
ϕ
2
C
x
1
O
2
O
1
C
1
ϕ
Рис. 3 
                               1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

движения y ∗ (⋅) . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им
движений примем следующее представление:
                                                           y (⋅) = y ∗ (⋅) + x (⋅) , v (⋅) = v ∗ (⋅) + u (⋅) .                                     (10)
Здесь величины x (⋅) , u(⋅) полагаются малыми. Подставим выражения (10) в

уравнения (9). В результате получим
                                  y ∗ (t ) + x (t ) = Y (t , y ∗ (t ) + x (t ) , v ∗ (t ) + u (t )), t ∈ [t 0 , T ] .                              (11)

С точностью до величин второго порядка малости по отношению к x (⋅) , u(⋅)

из (11) выводим
                                                          ∂                                      ∂
      y ∗ (t ) + x (t ) = Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t )) +      Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t )) x (t ) + Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t ))u (t ), t ∈ [t 0 , T ] .
                                                          ∂y                                     ∂v

Обозначая
                                        ∂                                       ∂
                             A(t ) =       Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t )), B (t ) = Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t )), t ∈ [t 0 , T ]                       (12)
                                        ∂y                                      ∂v

и учитывая, что
                                              y ∗ (t ) = Y (t , y ∗ (t ) , v ∗ (t )),        t ∈ [t 0 , T ] ,

приходим к уравнениям (2), в которых C (t ) = 0, t ∈ [t0 , T ] .

          Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный меха-
нический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-

                                              C2                                         но жесткий стержень длиной
                            O2                            ϕ2                              l i , i = 1,2 . Первое звено соединено с

                C1                                                                       неподвижным основанием мани-
 O1                    ϕ1                                                          x     пулятора               вращательной                    парой
                                                                                          O1 , а со вторым звеном – враща-

                            Рис. 3                                                       тельной парой O 2 . Масса схвата
манипулятора – m , центр масс i -го звена находится в середине стержня – точке
C i , его масса – mi , момент инерции i -го звена относительно своего центра масс

– I i , i = 1,2 . В соединительных парах могут развиваться управляющие вращатель-
ные моменты, соответственно, v1 и v2 ,



                                                                              13

Страницы