Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
11
Составим уравнения Лагранжа
,1,2,3.
i
ii i
dT T
Qi
dt q q q
⎛⎞
∂∂ ∂Π
⎟
⎜
⎟
− = − =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
∂∂ ∂
⎝⎠
Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:
()
12111
12312
23232
,
,
.
AA
A ABC C
CC
Iq Iq cq u
I
qIIIqIquu
Iq Iq cq u
+=− +
+++ + =+
+=− +
 
  
 
(6)
Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших
производных
(
)
()
1
2
1131
12
213
2
1
31 32
1
,
,
1
.
AB
AB B A
BB
BC
BBC C
cI I
c
qqqu
II I I
cc
qqq
II
cI I
c
qq qu
III I
+
= −−+
=+
+
= −− +
+



(7)
Проведя замену переменных
112 233415 26 3
,,,,,
x
qx qx qx qx qx q======

,
запишем систему (7) в нормальной форме
14
25
36
,
,
,
x
x
x
x
x
x
=
=
=
()
1
2
4131
1
,
AB
AB B A
cI I
c
x
xxu
II I I
+
= −−+
12
513
,
BB
cc
x
xx
II
=+
()
2
1
61 32
1
.
BC
BBC C
cI I
c
x
xxu
III I
+
= −− +
+
(8)
Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8)
имеет вид 
              1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Составим уравнения Лагранжа
                          d ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T             ∂Π
                              ⎜        ⎟−
                                       ⎟     = Qi −     , i = 1, 2,3.
                          dt ⎜⎝ ∂q i ⎠⎟ ∂qi        ∂qi

Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:
                         I Aq1 + I Aq2 = −c1q1 + u1 ,
                         I Aq1 + ( I A + I B + I C ) q2 + I C q3 = u1 + u2 ,   (6)
                         I C q2 + I C q3 = −c2 q3 + u2 .

Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших
производных
                                     c1 ( I A + I B )     c      1
                          q1 = −                    q1 − 2 q3 + u1 ,
                                          I AI B          IB     IA
                                   c1     c
                          q2 =      q1 + 2 q3 ,                                    (7)
                                   IB     IB
                                     c1     c ( I + IC )     1
                          q3 = −      q1 − 2 B         q3 + u2 .
                                     IB       I B + IC       IC

Проведя замену переменных
                  x1 = q1 , x2 = q2 , x3 = q3 , x4 = q1 , x5 = q 2 , x6 = q 3 ,

запишем систему (7) в нормальной форме
                                               x1 = x4 ,
                                               x 2 = x5 ,
                                               x3 = x6 ,

                                     c1 ( I A + I B )     c      1
                          x 4 = −                    x1 − 2 x3 + u1 ,
                                          I AIB           IB     IA
                                               c1     c
                                       x5 =      x1 + 2 x3 ,
                                               IB     IB

                                    c1     c ( I + IC )     1
                         x6 = −       x1 − 2 B         x3 + u2 .                    (8)
                                    IB       I B + IC       IC

     Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8)
имеет вид




                                                  11

Страницы