Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 9 стр.

                 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

      Пример 1. Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся в
вертикальной плоскости ξ , η в однородном поле тяжести (см. рис. 1). Управ-
                                              ляющее воздействие на точку M осуществляет-
  η
                           f                  ся посредством реактивной силы f , возникаю-
            M
                                              щей в результате отделения от точки частиц с
                                              элементарной массой dm . Тогда масса точки M
            mg
                                              является величиной переменной, а движение точ-
                                              ки описывается векторным дифференциальным
                                  ξ           уравнением Мещерского
       Рис. 1
                                                                              dv        dm
                                                                          m      = mg +    ar ,   (3)
                                                                              dt        dt
                                              где ar - вектор относительной скорости отде-
ляющихся частиц. Проектируя уравнение (3) на оси выбранной системы коор-
динат, получим
                                              mξ = ma
                                                      cos αξ ,
                                                                                                  (4)
                                              mη = ma
                                                      cos αη − mg .

Здесь αξ , αη - углы, которые составляет вектор относительной скорости от-

деляющихся частиц с соответствующими координатными осями.
      Запишем систему (4) в нормальной форме
                                                     x1 = x3 ,
                                                     x 2 = x4 ,
                                                                                                  (5)
                                                     x 3 = u1 ,
                                                     x 4 = u2 − g ,

где
                                                           m              m
                x1 = ξ , x2 = η , x3 = ξ, x4 = η , u1 = a cos αξ , u2 = a cos αη .
                                                           m               m
      Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (5)
имеет вид
                            ⎛ x1 ⎞⎟ ⎛0       0 1 0⎞⎟⎛⎜ x1 ⎞⎟ ⎛⎜0       0⎞⎟          ⎛ 0 ⎞⎟
                            ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜                   ⎟⎜ ⎟ ⎜                ⎟⎟         ⎜⎜ ⎟
                             ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ ⎜⎜0   0 0 1⎟⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟⎟ ⎜⎜0     0⎟⎟⎜⎛ u1 ⎞⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
                                      ⎟
                          ⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜0           ⎟⎜ ⎟ + ⎜
                                              0 0 0⎟⎟⎟⎜⎜⎜ x3 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜1
                                                                             ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .
                                                                        0⎟⎟⎟⎜⎝u2 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
                          ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜⎜                 ⎟⎟⎜ ⎟⎟ ⎜              ⎟⎟         ⎜ ⎟⎟
                                     ⎟
                        ⎝⎜⎜ x 4 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜0     0 0 0⎠⎟⎟⎝⎜⎜ x4 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜0   1⎠⎟⎟         ⎝⎜⎜−g ⎠⎟⎟

                                                            9