Физика. Часть 2. Электричество и магнетизм. Ляхова Л.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

13
dФ
E
= E · dS · cos α = E
n
· dS.
(1.13)
Чтобы найти поток вектора напряженности через всю поверхность S,
необходимо сложить потоки через все малые площадки dS, т. е.
проинтегрировать выражение (1.13) по поверхности S :
Ф
E
= E
n
· dS.
(1.14)
Таким образом, поток вектора напряженности (1.14) показывает,
сколько силовых линий « пронизывают» поверхность S. Формула (1.14)
может приниматься за определение потока вектора напряженности через
поверхность S.
Если поверхность S – замкнутая ( ограничивающая со всех сторон
некоторый объем), знак интеграла снабжается кружком:
Ф
E
= E
n
· dS
(1.15)
В случае замкнутых поверхностей под нормалью к площадке dS будем
понимать внешнюю нормаль.
Теорема Гаусса. Теорема Гаусса устанавливает соотношение между
потоком вектора напряженности электростатического поля через любую
замкнутую поверхность и суммарным электрическим зарядом внутри объема,
ограниченного этой поверхностью.
Теорема: Поток вектора напряженности электростатического поля через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
охватываемых данной поверхностью, деленной на ε
0
.
E
n
· dS =
0
ε
q
, или Ф
E
=
0
ε
q
.
(1.16)
Для доказательства теоремы Гаусса
рассмотрим поле точечного заряда q.
Вычислим поток вектора напряженности через
замкнутую сферическую поверхность, в
центре которой находится данный точечный
заряд q ( рис.1.7). Во всех точках сферы
модуль напряженности поля точечного заряда
имеет одинаковое значение и определяется
выражением (1.5), а направление вектора
совпадает с направлением вектора внешней
нормали к поверхности . Поэтому значение
потока через замкнутую поверхность
определится произведением Е на S : Ф
Е
= E · S.
Подставляя сюда значение напряженности
(1.5) и площадь сферы S = 4πr
2
, получаем
формулу
0
2
2
0
4
4
ε
=⋅π⋅
⋅πε
=
q
r
r
q
Ф
Е
, из которой видно, что поток не зависит
∫
S
∫
S
E
∫
S
E
E
E
E
E
E
E
r
q
Рис. 1.7 
                     dФE = E · dS · cos α = En · dS.          (1.13)
    Чтобы найти поток вектора напряженности через всю поверхность S,
необходимо сложить потоки через все малые площадки dS, т. е.
проинтегрировать выражение (1.13) по поверхности S :
                           ФE = E∫ n · dS.                    (1.14)
                                      S
    Таким образом, поток вектора напряженности (1.14) показывает,
сколько силовых линий « пронизывают» поверхность S. Формула (1.14)
может приниматься за определение потока вектора напряженности через
поверхность S.
    Если поверхность S – замкнутая ( ограничивающая со всех сторон
некоторый объем), знак интеграла снабжается кружком:
                                ФE = E∫S    n·   dS                          (1.15)
    В случае замкнутых поверхностей под нормалью к площадке dS будем
понимать внешнюю нормаль.

    Теорема Гаусса. Теорема Гаусса устанавливает соотношение между
потоком вектора напряженности электростатического поля через любую
замкнутую поверхность и суммарным электрическим зарядом внутри объема,
ограниченного этой поверхностью.
    Теорема: Поток вектора напряженности электростатического поля через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
охватываемых данной поверхностью, деленной на ε0.
                q                 q
      ∫
     E n· dS = , или ФE = .
               ε                 ε
                                                                              (1.16)
     S           0                 0
                                           Для доказательства теоремы Гаусса
               E                     рассмотрим поле точечного заряда             q.
                                     Вычислим поток вектора напряженности через
     E                               замкнутую сферическую поверхность, в
                             E
                                     центре которой находится данный точечный
                                     заряд q ( рис.1.7). Во всех точках сферы
              q      r               модуль напряженности поля точечного заряда
E
                                     имеет одинаковое значение и определяется
                                     выражением (1.5), а направление вектора E
                                     совпадает с направлением вектора внешней
                           E         нормали к поверхности n . Поэтому значение
     E                               потока      через   замкнутую     поверхность
               E                     определится произведением Е на S : ФЕ = E · S.
                                     Подставляя сюда значение напряженности
         Рис. 1.7
                                     (1.5) и площадь сферы S = 4πr2, получаем
                   q                     q
формулу ФЕ =             ⋅ 4 π ⋅ r 2
                                      =    , из которой видно, что поток не зависит
              4πε0 ⋅ r 2                ε0

                                           13

Страницы