ВУЗ:
Составители:
18
предыдущий момент времени [1]:
()
kikikikiki
ttt
x
a
tt
,,,,,
2
11
2
1
−+
∆
τ
+=
−++
, (12)
где индексом i отмечены номера слоев, а индексом k номера временных
интервалов ∆τ; а=λ/(ρ⋅с) – коэффициент температуропроводности материала;
λ, ρ и с – коэффициент теплопроводности, плотность и удельная
теплоемкость материала, соответственно.
Чтобы решение задачи было устойчивым и сходящимся, необходимо
соблюдать условие
50
2
,≤
∆
τ
x
a
,
откуда находим максимально допустимый шаг ∆τ по времени
537
1008330
)1052(5050
6
222
,
,
,,,
max
=
⋅
⋅
=
∆
=τ∆
−
−
a
x
с.
Для удобства расчетов принимаем ∆τ=35 с, строим таблицу 4 и заполняем ее
известными при τ=0 температурами t
0,i
, а также температурами на наружных
поверхностях пластины t
k,0
и t
k,9
(i=1,2,...8, k=0,1,2, 10).
Вычислим предварительно значение безразмерного множителя,
стоящего перед скобкой в формуле (12):
46650
)1052(
351008330
23
6
2
,
,
,
=
⋅
⋅⋅
=
∆
τ∆
=
−
−
x
a
A
и будем последовательно рассчитывать значения температур в выделенных
слоях, которые будут в них через 35 с после начала процесса (k=1) по
формуле [1]:
t
1,1
= t
1,0
+A(t
2,0
+ t
0,0
-2t
1,0
)=25+0,4665(25+65-2⋅25)=43,7
o
C;
t
2,1
= t
2,0
+A(t
3,0
+ t
1,0
-2t
2,0
)=25+0,4665(25+25-2⋅25)=25
o
C;
t
3,1
= t
3,0
+A(t
4,0
+ t
3,0
-2t
3,0
)=25+0,4665(25+25-2⋅25)=25
o
C.
Понятно, что и все другие температуры t
4,1
, t
5,1
, t
6,1
и t
7,1
будут равны 25
o
C, и
только в предпоследнем слое температура изменится
t
8,1
= t
8,0
+A(t
9,0
+ t
7,0
-2t
8,0
)=25+0,4665(160+25-2⋅25)=87,9
o
C.
Заполняем теперь первую строку таблицы 4 и переходим к расчету
второго временного слоя (при k=2).
t
1,2
= t
1,1
+A(t
2,1
+ t
0,1
-2t
1,1
)=43,7+0,4665(25+65-2⋅43,7)=44,9
o
C;
t
2,2
= t
2,1
+A(t
3,1
+ t
1,1
-2t
2,1
)=25+0,4665(25+43,7-2⋅25)=33,7
o
C;
t
3,2
= t
3,1
+A(t
4,1
+ t
2,1
-2t
3,1
)=25+0,4665(25+25-2⋅25)=25
o
C.
Как и в предыдущем случае легко понять, что температуры t
4,2
, t
5,2
и t
6,2
будут равны 25
о
С, поскольку численные значения, входящие в формулу (12),
будут такими же, как в последнем расчете. Поэтому продолжим расчет для
крайних точек:
