Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

37
3) при помощи преобразования вращения (см. рис. 7.9) построим промежуточ-
ное положение n
1
(n
1
1
,n
1
2
) искомой нормали n, а затем ее искомое положение
n(n
1
,n
2
).
Вершина S – единственная особая точка на поверхности конуса.
7.5. Перпендикулярность двух плоскостей
Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол меж-
ду ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные
для решения последующих метрических задач.
1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит че-
рез перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то
прямая их
пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет
место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпен-
дикулярная данной плоскости.
Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построе-
ния плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной
плоскости Σ:
1) на АВ выбирается произвольная точка Е;
2)
строится прямая t
таким образом, что t
∋ Е, t
⊥ h
, t
⊥ f
, где h
⊂ Σ, f
⊂ Σ
(рис. 7.10), т.е. t
⊥ Σ.
Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной
плоскости Σ. Заметим, что через прямую t
⊥ Σ проходит не одна плоскость, пер-
пендикулярная Σ.
Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11).
Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и
перпендикулярную плоскости Σ.
Алгоритм проекционного решения задачи:
1) строятся линии уровня h(h
1
,h
2
)
и f(f
1
,f
2
) в плоскости Σ,
при этом h
2
// х, f
1
// х;
2) строятся проекции t
1
и t
2
прямой t
таким образом, что
t
2
∋ E
2
, t
2
⊥ f
2
; t
1
∋ E
1
, t
1
⊥ h
1
, где Е ∈ АВ – произвольная
точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.
Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и ∆(KL, PT), где
AB ∩ DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость,
проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим
плоскостям Σ и ∆ (рис. 9.9).
Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале
строится линия пересечения заданных плоскостей t
= Σ ∩ ∆. Затем, на основании
приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е
и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет
собой решение задачи.
A
B
E
t
Σ
h
f
Р и с . 7 . 1 0 
   3) при помощи преобразования вращения (см. рис. 7.9) построим промежуточ-
ное положение n1(n11,n12 ) искомой нормали n, а затем ее искомое положение
n(n1,n2 ).
   Вершина S – единственная особая точка на поверхности конуса.

                7.5. Перпендикулярность двух плоскостей

    Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол меж-
ду ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные
для решения последующих метрических задач.
    1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит че-
рез перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
    2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то
прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
    3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет
место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпен-
дикулярная данной плоскости.
    Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построе-
ния плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной
плоскости Σ:
    1) на АВ выбирается произвольная точка Е;
    2) строится прямая t таким образом, что t ∋ Е, t ⊥ h , t ⊥ f , где h ⊂ Σ, f ⊂ Σ
(рис. 7.10), т.е. t ⊥ Σ.
    Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной
плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ⊥ Σ проходит не одна плоскость, пер-
пендикулярная Σ.
    Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11).
    Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и                       A
перпендикулярную плоскости Σ.                                                      E
    Алгоритм проекционного решения задачи:                                           B
                                                                                   t
    1) строятся линии уровня h(h1,h2) и f(f1,f2) в плоскости Σ,
при этом h2 // х, f1 // х;
    2) строятся проекции t1 и t2 прямой t таким образом, что                   h
t2 ∋ E2 , t2 ⊥ f2 ; t1 ∋ E1, t1 ⊥ h1 , где Е ∈ АВ – произвольная                     Σ
точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.                                   f
    Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и ∆(KL, PT), где
AB ∩ DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость,
проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим                          Рис. 7.10
плоскостям Σ и ∆ (рис. 9.9).
    Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале
строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ ∩ ∆. Затем, на основании
приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е
и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет
собой решение задачи.


                                          37

Страницы