Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

36
x
n
2
n
1
2
n
1
1
n
1
a
1
a
2
a
1
1
a
1
2
S
2
S
1
B
2
B
1
A
2
A
1
A
1
2
A
1
1
C
2
C
1
=
Р и с . 7 . 9
7.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
В обыкновенной точке А поверхности Σ можно постро-
ить единственную касательную плоскость (рис. 7.7). Для
этого на поверхности через точку А необходимо провести
две кривые a и b, а затем построить две касательные а
1
и b
1
соответственно к a и b. Касательная плоскость ∆ образова-
на прямыми a
1
и b
1
. Прямая n ⊥ ∆ называется нормалью по-
верхности Σ в точке А.
Задача. Даны сфера и точка А на ней. Построить каса-
тельную плоскость и нормаль к сфере в точке А (рис. 7.8).
Решение задачи может быть выполнено следующим
образом:
1) построим две окружности а(a
1
, a
2
) и b(b
1
,b
2
) на сфере, пересекающиеся в
точке А(А
1
,А
2
);
2) проведем две касательные а
1
(а
1
1
, а
1
2
) и b
1
(b
1
1
, b
1
2
) к окружностям a и b
соответственно; искомая касательная плоскость образуется касательными a
1
и b
1
;
3) построим нормаль n(n
1
,n
2
) к поверхности сферы по следующим условиям:
n
1
⊥ b
1
1
, n
2
⊥ а
1
2
.
Заметим, что поверхность сферы состоит только из обыкновенных точек.
Задача.
Даны коническая поверхность вращения и точка А на ней. Построить
касательную плоскость и нормаль к поверхности в точке А (рис. 7.9).
Решение задачи:
1) построим на конической поверхности две линии, пересекающиеся в точке А:
окружность а(a
1
, a
2
) и прямую b = SA(S
1
A
1
, S
2
A
2
);
2) проведем касательную а
1
(а
1
1
,а
1
2
) к окружности а; две пересекающиеся в точ-
ке А прямые a
1
и SA образуют касательную плоскость к поверхности конуса;
A
Σ
a
b
a
1
b
1
n
∆
Р и с . 7 . 7
x
O
2
n
2
a
2
a
1
2
b
1
b
1
1
n
1
a
1
1
O
1
A
2
A
1
b
1
2
Р и с . 7 . 8 
                7.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

                n         В обыкновенной точке А поверхности Σ можно постро-
        1
         b             ить единственную касательную плоскость (рис. 7.7). Для
                       этого на поверхности через точку А необходимо провести
                 A     две кривые a и b, а затем построить две касательные а1 и b1
       1
     a         ∆       соответственно к a и b. Касательная плоскость ∆ образова-
           a         b
                       на прямыми a1 и b1. Прямая n ⊥ ∆ называется нормалью по-
               Σ       верхности Σ в точке А.
                          Задача. Даны сфера и точка А на ней. Построить каса-
                       тельную плоскость и нормаль к сфере в точке А (рис. 7.8).
           Рис. 7.7       Решение задачи может быть выполнено следующим
                       образом:
   1) построим две окружности а(a1, a2) и b(b1 ,b2 ) на сфере, пересекающиеся в
точке А(А1,А2);
   2) проведем две касательные а1 (а11 , а12 ) и b1 (b11 , b12 ) к окружностям a и b
соответственно; искомая касательная плоскость образуется касательными a1 и b1;
   3) построим нормаль n(n1,n2 ) к поверхности сферы по следующим условиям:
n1 ⊥ b11 , n2 ⊥ а12.
   Заметим, что поверхность сферы состоит только из обыкновенных точек.
                                 n2
                           A2          1
                                      b2                          S2
                     a2
                                                                                   n2
                     O2
                                                                                            1
                                        1                                                  n2
                                       a2                  a 2 A2                  1
                                                                         1
                                                                        A2 a 2
            x                                               C2
                                                    x                     B2

                     b1                                                        1
                                                                              a1
                                           1
                                                           1 S1
                                                          C=        1
                                                                   A1    B1
                                       b1                                          n1
                                                                                       1
                     O1
                          A1                               a1 A
                                        1                       1
                                       a1
                                n1                                      n1
                                                           Рис. 7.9
                    Рис. 7.8
   Задача. Даны коническая поверхность вращения и точка А на ней. Построить
касательную плоскость и нормаль к поверхности в точке А (рис. 7.9).
   Решение задачи:
   1) построим на конической поверхности две линии, пересекающиеся в точке А:
окружность а(a1, a2 ) и прямую b = SA(S1A1, S2A2);
   2) проведем касательную а1 (а11,а12 ) к окружности а; две пересекающиеся в точ-
ке А прямые a1 и SA образуют касательную плоскость к поверхности конуса;

                                               36

Страницы