Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

41
Задача. Даны параллельные плоскости Σ и ∆. Определить расстояние между Σ
и ∆ (рис. 8.6).
Для решения задачи необходимо взять на одной из плоскостей, например Σ,
точку А и определить расстояние ρ(A, ∆). Так как ρ(Σ, ∆) = ρ(A, ∆), то найденное
расстояние ρ(A, ∆) будет решением задачи.
8.3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми
Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для реше-
ния названной задачи.
1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок,
концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.
2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единст-
вен.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего пер
-
пендикуляра.
Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние меж-
ду прямыми (рис. 8.7).
Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекцион-
ный алгоритм решения в этом случае может быть
следующим:
1) вводится новая система плоскостей проекций
П
1
, П
4
, таким образом, что П
4
// АВ, т.е. на КЧ
строится ось х
1
// А
1
В
1
;
2) на П
4
строятся новые проекции А
4
В
4
( НВ отрез-
ка АВ) и C
4
D
4
;
3) вводится новая система плоскостей П
4
, П
5
с
осью х
2
⊥ А
4
В
4
такая, что П
5
⊥ AB;
4) на П
5
строятся новые проекции – отрезок C
5
D
5
и точка А
5
= В
5
;
5) строится перпендикуляр E
5
F
5
⊥ C
5
D
5
из точки
Е
5
(
= А
5
= В
5
);
В итоге, по смыслу построений в методе замены
плоскостей проекций и приведенному понятию рас-
стояния между скрещивающимися прямыми, получа-
ем, что ρ(E
5
, C
5
D
5
) = ρ(AB, CD). Для полноты реше-
ния задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной
ρ(AB, CD) на исходные плоскости проекций:
1) строим E
4
F
4
// x
2
;
2) строим E
1
F
1
по проекциям E
5
F
5
, E
4
F
4
; E
2
F
2
по
проекциям E
4
F
4
, E
1
F
1
.
Отрезки E
2
F
2
, E
1
F
1
представляют собой основные
проекции отрезка EF.
x
x
1
x
2
A
2
B
2
C
2
E
2
F
2
A
1
A
4
A
5
B
1
B
4
B
5
C
1
C
4
C
5
D
1
D
4
D
5
D
2
E
1
E
4
E
5
F
1
F
4
F
5
=
=
Р и с . 8 . 7 
   Задача. Даны параллельные плоскости Σ и ∆. Определить расстояние между Σ
и ∆ (рис. 8.6).
   Для решения задачи необходимо взять на одной из плоскостей, например Σ,
точку А и определить расстояние ρ(A, ∆). Так как ρ(Σ, ∆) = ρ(A, ∆), то найденное
расстояние ρ(A, ∆) будет решением задачи.

      8.3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

   Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для реше-
ния названной задачи.
   1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок,
концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.
   2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единст-
вен.
   3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего пер-
пендикуляра.
   Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние меж-
ду прямыми (рис. 8.7).
   Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекцион-
ный алгоритм решения в этом случае может быть
следующим:
                                                                         B2
   1) вводится новая система плоскостей проекций              E2
П1, П4 , таким образом, что П4 // АВ, т.е. на КЧ
строится ось х1 // А1В1;                                   A2            F
                                                                   C2 2
   2) на П4 строятся новые проекции А4В4 ( НВ отрез-
ка АВ) и C4D4 ;                                       x                     D2
   3) вводится новая система плоскостей П4, П5 с                   C1
осью х2 ⊥ А4В4 такая, что П5 ⊥ AB;
   4) на П5 строятся новые проекции – отрезок C5D5
                                                                      F1
                                                           A1
и точка А5 = В5;
                                                     x1
   5) строится перпендикуляр E5F5 ⊥ C5D5 из точки                E1
Е5( = А5 = В5);                                                         B1  D1
    В итоге, по смыслу построений в методе замены         C 4
                                                     A4            F4
плоскостей проекций и приведенному понятию рас-
стояния между скрещивающимися прямыми, получа-          E4               D4
ем, что ρ(E5, C5D5) = ρ(AB, CD). Для полноты реше-
ния задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной
ρ(AB, CD) на исходные плоскости проекций:                    B4
   1) строим E4F4 // x2;
                                                                               D5
   2) строим E1F1 по проекциям E5F5, E4F4 ; E2F2 по        x2
проекциям E4F4 , E1F1 .
   Отрезки E2F2 , E1F1 представляют собой основные          A5= B 5= E 5
проекции отрезка EF.                                                        F5
                                                                       C5
                                                                Рис. 8.7
                                       41

Страницы