Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

43
из плоских областей, ограниченной ими;
2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских
углов, образованных этими прямыми;
3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися
прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.
В последнем определении величина угла между двумя скрещивающимися пря-
мыми не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им.
Рас-
смотрим несколько задач на оп-
ределение углов.
Задача.
Даны пересекающиеся
отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Опре-
делить угол между ними.
Поскольку искомый угол явля-
ется плоской фигурой, то решение
задачи сводится к определению
НВ плоской фигуры. Ее проекци-
онное решение изложено в п. 1.
Напомним алгоритм этого реше-
ния. Он основан на методе замены
плоскостей проекций и примени-
тельно
к условиям данной задачи
может быть следующим:
1) строится линия уровня, на-
пример, h(h
1
,h
2
), принадлежащая
плоскости Σ(АВ, АС), при этом h
2
// х;
2) строится ось проекции x
1
⊥ h
1
, что соответствует введению в пространстве
новой системы плоскостей проекций П
1
, П
4
, где П
4
⊥ h;
3) на П
4
строится вырожденная проекция В
4
С
4
плоскости Σ;
4) строится ось проекции x
2
// В
4
С
4
, что соответствует введению в пространстве
новой системы плоскостей проекций П
4
, П
5
, где П
5
// Σ;
5) на П
5
строится угол ∠(А
5
С
5
, А
5
В
5
) = α, который и является искомым.
Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить
угол между ними.
Решение задачи выполним, опираясь на определение
угла между скрещивающимися прямыми, приведенное
выше, а также учитывая алгоритм проекционного реше-
ния предыдущей задачи. Для этих целей переместим одну
из прямых, например DC, в положение, когда она, остава-
ясь параллельной самой себе, будет
пересекать другую
прямую АВ. Таких положений существует бесчисленное
множество. Одно из них, например D
1
C
1
(D
1
1
C
1
1
, D
2
1
C
2
1
),
где D
1
1
С
1
1
// D
1
С
1
, D
2
1
С
2
1
= D
2
C
2
, показано на КЧ
(см. рис. 9.2). В итоге получаем пару пересекающихся
прямых АВ ∩ D
1
С
1
, угол между которыми может быть
определен на основании вышеприведенного алгоритма.
a
x
x
1
x
2
A
2
B
2
C
2
h
2
A
1
B
4
B
5
B
1
A
4
A
5
C
1
C
4
C
5
h
1
Р и с . 9 . 1
x
A
2
B
2
C
2
D
2
D
1
D
1
1
C
1
C
1
1
B
1
A
1
D
1
2
C
1
2
=
=
Р и с . 9 . 2 
из плоских областей, ограниченной ими;
   2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских
углов, образованных этими прямыми;
   3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися
прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.
   В последнем определении величина угла между двумя скрещивающимися пря-
мыми не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им. Рас-
смотрим несколько задач на оп-
ределение углов.                                        B2
   Задача. Даны пересекающиеся
отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Опре-        A2       h2
делить угол между ними.                                        C2
   Поскольку искомый угол явля- x
ется плоской фигурой, то решение         A1
задачи сводится к определению                                 C1         C5




                                                                            a
НВ плоской фигуры. Ее проекци-                   h 1
онное решение изложено в п. 1.                                    C4                       A5
Напомним алгоритм этого реше-
                                                 B1            A4
ния. Он основан на методе замены
плоскостей проекций и примени-
тельно к условиям данной задачи                      x1                      B5
может быть следующим:                                            B 4      x2
   1) строится линия уровня, на-                        Рис. 9.1
пример, h(h1,h2), принадлежащая
плоскости Σ(АВ, АС), при этом h2 // х;
   2) строится ось проекции x1⊥ h1 , что соответствует введению в пространстве
новой системы плоскостей проекций П1, П4, где П4 ⊥ h;
   3) на П4 строится вырожденная проекция В4С4 плоскости Σ;
   4) строится ось проекции x2 // В4С4 , что соответствует введению в пространстве
новой системы плоскостей проекций П4 , П5 , где П5 // Σ;
   5) на П5 строится угол ∠(А5С5 , А5В5 ) = α, который и является искомым.
  Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить
угол между ними.
   Решение задачи выполним, опираясь на определение                    A2        C 2= C 12
угла между скрещивающимися прямыми, приведенное
выше, а также учитывая алгоритм проекционного реше- 1
                                                                                          B2
ния предыдущей задачи. Для этих целей переместим одну D 2=D 2
из прямых, например DC, в положение, когда она, остава-              x
ясь параллельной самой себе, будет пересекать другую                            C1
прямую АВ. Таких положений существует бесчисленное                    D1
                                       1 1     1 1       1  1             A1 C 11
множество. Одно из них, например D C (D1 C1 , D2 C2 ),
где D11С11 // D1С1 , D21С21 = D2C2 , показано на КЧ                    1
                                                                      D1
(см. рис. 9.2). В итоге получаем пару пересекающихся                                      B1
                   1 1
прямых АВ ∩ D С , угол между которыми может быть                          Рис. 9.2
определен на основании вышеприведенного алгоритма.

                                             43

Страницы