Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

поверхности среды – t
c3
. Обе эти температуры неизвестны, и определив их, мы сведем задачу к
рассмотренным ранее.
Чтобы найти эти температуры, запишем
q
ст
= q
с
= (q
ср
)
x = δ
или
(
t
с1
– t
с2
) / (δ/λ) = (t
с2
– t
c3
) /R
к
= –λ
c
(dt
c
/dx)
x = δ
.
Обозначив
–λ
c
(dt
c
/dx)
x = δ
= A,
легко находим
t
c2
= t
c1
+ A /(δ/λ) и t
c3
= t
c2
+ AR
к
.
2.2.7 Стационарная теплопроводность
цилиндрической стенки при ГУ-1
Ц
илиндрические стенки встречаются на практике почти так же часто, как и плоские. Будем рассматривать неограниченные по
длине стенки, у которых теплообменом с торцевых поверхностей можно пренебрегать и считать, что весь тепловой поток
передается по направлениям, перпендикулярным оси цилиндра. С достаточной точностью к неограниченным можно
относить любые стенки, длина которых хотя бы в 10 раз больше диаметра. При этом изотермические поверхности
представляют собою концентрические цилиндры, а в сечении, перпендикулярном оси этих цилиндров, изотермы имеют вид
концентрических окружностей, как показано это на рис. 2.13. В декартовых координатах температурное поле является
плоским
t = f (х, у). Однако с переходом к цилиндрической системе координат в силу симметрии обнаруживается, что
температура в любом месте стенки зависит лишь от одного параметра – радиуса
r,
определяющего положение этой точки на той или иной изотерме, т.е. задача становится
одномерной:
t = f (r).
Чтобы показать многообразие подходов при решении задач теплопроводности, отходя
от общего подхода, покажем, что для тел простой формы задачу можно решить и без
привлечения дифференциального уравнения теплопроводности.
Выделим внутри стенки на расстоянии
r от оси элементарно тонкий слой толщиной
dr (см. рис. 2.14) и в соответствии с законом Фу-
рье запишем формулу, определяющую величину передаваемого через этот слой теплового
потока:
Q = Fq = 2πrl [–λ(dt/dr)]. (2.18)
У неограниченной стенки весь этот поток Q проходит целиком через любую
изотермическую поверхность, т.е. не зависит от величины
r. Формула (2.18) представляет собою обыкновенное
дифференциальное уравнение, описывающее связь между
Q, r и t. Разнесем переменные и проинтегрируем затем правую и
левую части полученного уравнения в пределах, соответствующих граничным условиям:
при
r = r
1
t = t
c1
и при r = r
2
t = t
c2
:
∫∫
πλ−=
2
1
2
1
2
r
r
t
t
c
c
dtl
r
dr
Q .
После интегрирования (с учетом, что Q = const) получаем
Q ln (r
2
/r
1
) = –2πλl (t
c2
– t
c1
),
откуда находим
.
ln
)(
c2c1
l
d
d
tt
Q
1
2
2
1
λ
−
π
=
Чтобы определить вид температурного поля, повторим такое же интегрирование, но до некоторых текущих значений r и
t верхних пределов
.
∫∫
πλ−=
r
r
t
t
c
dtl
r
dr
Q
11
2
Тогда получим
Q ln (r/r
1
) = –2πλl (t – t
c1
),
откуда выражаем значение t :
=
t
l
rr
l
d
d
tt
t
l
rrQ
t
πλ
λ
−
π
−=
πλ
−
2
2
1
2
1
1
2
1
)/(ln
ln
)(
)/(ln
c2c1
c1c1
1
1
2
r
r
d
d
tt
t ln
ln
c2c1
c1
−
−=
.
Отметим, что удельные тепловые потоки на внутренней и на наружной поверхностях различны, поскольку различна
величина этих поверх- ностей:
стенка
t
c1
t
c2
q
δ
x
t
среда
t
c3
Рис. 2.12 ГУ-1 + ГУ-4
при наличии R
к
ϕ
x
y
r
Рис. 2.13 Температурное
поле цилиндрической
стенки

Страницы