Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В
технике часто встречаются случаи, когда внутри тела имеются внутренние источники тепла, например, при прохождении
электрического тока, при химических реакциях, ядерном распаде или деятельности микроорганизмов. Интенсивность
выделения тепла при этом характеризуют мощностью внутренних источников
q
v
, показывающей, сколько тепла выделяется
за единицу времени единицей объема тела. При поглощении тепла, например при эндотермических реакциях, говорят о
наличии стоков тепла и величину
q
v
считают отрицательной.
Рассмотрим неограниченный сплошной цилиндр с равномерно распределенными в нем внутренними источниками
мощностью
q
v
(рис. 2.20), который помещен в жидкую или газообразную среду с температурой t
ж
и имеет коэффициент
теплоотдачи α (заданы ГУ-3). В силу симметрии температурное поле в таком стержне будет одномерным
t = f (r).
Если на расстоянии r от оси выделить изотермическую поверхность, то при установившемся режиме тепло,
выделившееся в объеме π
r
2
l, будет передаваться через изотермическую поверхность 2πrl теплопроводностью. Значит можно
записать следующее теплобалансовое уравнение
.)/( drdtrllqr
v
λπ−=π 2
2
Проведем сокращения и разнесем переменные:
.drr
q
dt
v
λ
−=
2
Тогда после интегрирования получаем
,Cr
q
t
v
+
λ
−=
2
4
где С – константа интегрирования, найти которую не составляет трудностей: при r = R t = t
c
и тогда
.
c
2
4
R
q
tC
v
λ
+=
Значит температурное поле внутри стержня описывается формулой
)(
cc
2222
444
rR
q
tR
q
tr
q
t
vvv
−
λ
+=
λ
++
λ
−= .
Величину t
c
найдем, записав теплобалансовое уравнение для наружной поверхности стержня,
Q
v
= Q
α
или πR
2
lq
v
= 2πRlα (t
c
– t
ж
),
откуда после сокращений выражаем
.
жc
α
+=
2
v
Rq
tt
Температура на оси цилиндра (при r = 0) будет наибольшей:
.
жco
α
+
λ
+=
λ
+=
244
2
2
RR
qt
Rq
tt
v
v
2.2.12 Численное решение задач стационарной теплопроводности
А
налитическое решение задач теплопроводности возможно лишь для тел простой геометрической формы и при простейших
граничных условиях. На практике же иногда возникает необходимость определить температурное поле в телах более
сложной формы или при таких условиях однозначности, когда температура или условия теплообмена на поверхности тела
непостоянны, когда величина λ существенно и нелинейно зависит от
t, когда тело неоднородно и величина λ различна в
разных точках тела и по разным направлениям.
Чтобы перейти к численным методам, исследуемое тело мысленно разделяют на небольшие объемы простой формы
(чаще всего прямоугольной). При этом считают, что в пределах каждого такого объема свойства вещества, мощность
внутренних источников и температура остаются постоянными, а изменение температуры происходит скачками на границах
каждого объема. Другими словами непрерывный процесс теплопроводности заменяется некоторым дискретным процессом.
Центральные точки выделенных объемов (их называют узлами) образуют внутри тела пространственную сетку. Для
любого узла такой сетки на основе теплобалансовых уравнений или путем замены дифференциального уравнения
теплопроводности его конечно – разностным аналогом (от бесконечных приращений переходят к малым конечным
приращениям) можно получить алгебраические соотношения, в совокупности составляющие замкнутую систему уравнений,
для решения которой используются стандартные или специально разработанные методы. Изложенный подход называют
методом конечных разностей.

Страницы