Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

****
zyx
dQdQdQdQ ++= , (2.4)
и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению
х. Если через q
x
и q
x + dx
обозначим удельные тепловые
потоки, направленные по оси
х, первый из которых входит в элемент, а второй – выходит из него (см. рис. 2.4), то количество
тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направлению
х, будет:
.)(
*
τ−=τ−τ=
++
ddzdyqqddzdyqddzdyqdQ
dxxxdxxxx
(2.5)
Поскольку функция q
x
= f (x) непрерывна (для распространения тепла нет препятствий), то связь между предыдущим
значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тейлора
....
!!
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
3
3
3
2
2
2
3
1
2
1
dx
x
q
dx
x
q
dx
x
q
qq
xxx
xdxx
Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких порядков малости.
Тогда формулу (2.5) можно переписать:
τ
∂
∂
−=τ
∂
∂
−= ddV
x
q
ddzdydx
x
q
dQ
xx
*
.
Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по структуре выражения
для
*
y
dQ и
*
z
dQ . Тогда формула (2.4) может быть представлена так:
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= ddV
z
q
y
q
x
q
dQ
z
y
x
*
. (2.6)
Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией вектора и обозначают
словом div
. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому:
dQ
*
= –divq – dV dτ. (2.7)
Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на координатные оси дает
x
t
x,
ˆ
n
n
t
q
x
∂
∂
λ−
∂
∂
λ−= =)cos( ,
y
t
q
y
∂
∂
λ−= ,
z
t
q
z
∂
∂
λ−= .
Подставим эти выражения в формулу (2.6)
.
*
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
=τ
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
−=
ddV
z
t
y
t
x
t
ddV
z
t
zy
t
yx
t
x
dQ
2
2
2
2
2
2
(2.8)
Подставим теперь в формулу (2.2) значения dU и dQ
*
по формулам (2.3) и (2.8), соответственно. После сокращения
получаем
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
τ∂
∂
ρ
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
tt
c
или окончательно
.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
λ
=
τ∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
c
t
(2.9)
Если преобразовать формулу (2.7), то дифференциальное уравнение теплопроводности можно получить в виде
) grad(div t
c
t
λ
ρ
=
∂τ
∂
1
. (2.10)
Это более общая запись, в ней не предполагается, как это сделано при выводе формулы (2.9), что λ = const.
Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей называют оператором
Лапласа и обозначают для краткости символами ∇
2
. Множитель ),/(
ρ
λ
с составлен из физконстант и представляет собою
некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способность тел проводить тепло и одновременно
аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику называют коэффициентом температуропроводности
а:
a = λ / (сρ),
поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке тела. Коэффициент а
имеет важное значение только для нестационарных процессов.
В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно:
./ tat
2
∇=∂τ∂
Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в
окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения всего класса задач теплопроводности. Часто это
уравнение называют дифференциальным уравнением Фурье.

Страницы