Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.2.3 Условия однозначности в задачах теплопроводности
Прежде чем найти решение, надо сделать
целый ряд расчетов самого различного свойства
Д. Родари
ак и любое дифференциальное уравнение, уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого
множества выбрать решение конкретной задачи, нужно при интегрировании уравнения учитывать и использовать для
определения произвольных постоянных математическое описание особенностей этого конкретного случая. Такое описание
особенностей конкретной задачи называют условиями однозначности или (менее удачно) краевыми условиями.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования (элементарно малый
объем внутри тела) мы исключили большое количество информации, важной для конкретных задач. Условия однозначности
призваны вернуть утраты и должны содержать следующую информацию:
– о форме и размерах тела (геометрические условия);
– о физических свойствах вещества, включая численные значения теплофизических коэффициентов λ,
с, р и др.
(физические условия);
– о распределении температуры в теле в начальный момент времени, т.е. нужно знать температурное поле при τ = 0
(начальные условия):
t
0
= f (x, y, z). В простейшем случае t
0
= const и задается численное значение этой константы;
– об условиях теплообмена на границе между телом и средой, т.е. об условиях на поверхности тела (граничные
условия).
Граничные условия можно задать разными способами. Когда задают температуру на поверхности тела,
t
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ),
то это называют заданием граничных условий первого рода (ГУ-1). В простейшем случае считается t
п
= const и
задается значение
t
п
.
При граничных условиях второго рода (ГУ-2) задают удельный тепловой поток на поверхности тела: q
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ).
В простейшем случае принимают
q
п
= const.
Чаще всего известны температура окружающей тело жидкой или газообразной среды и величина коэффициента
теплоотдачи α, характеризующая интенсивность теплообмена на поверхности тела. Тогда говорят, что заданы ГУ-3 (см. рис.
2.5). Отметим, что при любой форме поверхности весь тепловой поток, передаваемый теплоотдачей передается
теплопроводностью через элементарно тонкий слой на поверхности тела. Поэтому можно записать следующее
теплобалансовое уравнение
αλ
=
qq
или, воспользовавшись законами Ньютона-Рихмана и Фурье,
.)(
жс
0=
∂
∂
λ−=−α
n
n
t
tt
(2.11)
Формула (2.11) в дифференциальной форме описывает связь между t
c
и t
ж
и во многих случаях (когда удается
рассчитать значение производной) позволяет перейти от ГУ-3 к ГУ-1.
При ГУ-4 также задаются температурные характеристики окружающей тело среды, но эта среда, в отличие от
предыдущего случая, тоже является твердым телом (схема ГУ-4 показана на рис. 2.6). Тепло-
обмен здесь происходит в результате непосредственного контакта поверхностей, а внутри среды –
тоже теплопроводностью. Уравнение теплового баланса в этом случае будет
q
т
= q
ср
или
00 ==
∂
∂
λ
=
∂
∂
λ
nn
ntnt )/()/(
срср
.
При ГУ-4 величины λ, λ
ср
и
0=
∂∂
n
nt )/(
cp
считаются известными, и это позволяет найти
значение производной
0=
∂
∂
n
nt )/( . Другими словами, в этом случае задается (правда
опосредствованно) величина производной
0=
∂
∂
n
nt )/( на поверхности тела. Дополнительным, но
необязательным условием является равенство температур в точках теплового контакта тела со
средой, если этот контакт идеальный. Если же из-за микронеровностей, зазоров или
недостаточного прижатия поверхностей нет идеального контакта, то возникает дополнительное контактное термическое
сопротивление и это приводит к скачку температуры в зоне контакта. Величина контактных сопротивлений зависит от
многих факторов (прежде всего от качества механического контакта) и определяется опытным путем.
2.2.4 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-1
ешение отдельных задач теплопроводности логично начинать со стационарных процессов и для тел простейшей формы,
поскольку такие тела и режимы чаще всего встречаются на практике, а сами эти решения, если принимать
незначительные упрощающие предположения, получаются достаточно простыми.
К
q
тело среда
Рис. 2.6 Схема
ГУ-4
Р

Страницы