ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, температуры t
cl
и t
c2
на поверхности которой известны и неизменны в
пространстве и во времени (см. рис. 2.7). На практике к неограниченным можно относить пластины, толщина которых хотя
бы в 10 раз меньше ее ширины, не говоря уже о длине. У таких стенок теплообменом с боковых
граней можно пренебрегать и считать, что все тепло передается только перпендикулярно
фронтальным поверхностям. Изотермические поверхности при этом имеют вид плоскостей,
параллельных фронтальным, а температура будет изменяться только по толщине стенки, т.е. поле
будет одномерным:
t = f (x). Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае
принимает вид (поскольку ∂
t /∂τ = 0)
,
2
2
0
dx
td
a=
откуда получаем простое дифференциальное уравнение второго порядка
d
2
t / dx
2
= 0.
Чтобы проинтегрировать его, введем новую переменную u = dt/dx и перепишем так
du /dx = 0.
Интегралом последнего уравнения может быть любая константа, ибо только
производная константы равна нулю. Значит
и = С или dt / dx = C. Чтобы решить
это дифференциальное уравнение, разнесем переменные и проинтегрируем правую и
левую части полученного уравнения:
dt = C/dx, t = C
1
x + C
2
. (2.12)
Здесь C
2
– вторая произвольная постоянная интегрирования.
Нами получено общее решение (2.12), описывающее бесконечное множество
решений, различающихся значениями
C
1
и C
2
. Константы интегрирования найдем,
воспользовавшись граничными условиями: на левой поверхности (при
x = 0) t = t
c1
и
формула (2.12) принимает вид
t
cl
= C
1
⋅0 + C
2
,
откуда C
2
= t
c1
. На правой поверхности (при х = δ) t = t
c2
и по (2.12) можно записать
t
c2
= C
1
δ + C
2
= C
1
δ + t
cl
,
откуда
C
1
= (t
cl
– t
c2
) / δ.
Формулу (2.12) перепишем с учетом полученных значений C
1
и C
2
:
t = t
cl
– [( t
cl
– t
c2
) / δ] x. (2.13)
Мы получили аналитическое выражение для температурного поля внутри стенки. Это позволяет достаточно просто найти и
передаваемый тепловой поток. Действительно, запишем формулу закона Фурье
q = –λ (dt / dx)
и подставим сюда значение производной, продифференцировав предварительно формулу (2.13):
q = λ (t
cl
– t
c2
) / δ = (t
cl
– t
c2
) / (δ/λ). (2.14)
Величину δ/λ принято называть термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.
Из формул (2.12) или (2.13) видно, что внутри стенки температура меняется по линейному закону. Правда, будет это
лишь при λ
= const. Если же зависимостью λ = f (t) пренебрегать нельзя, то вид температурного поля изменится, оно будет
нелинейным (см. рис. 2.7). Это становится понятным, если учитывать, что у неограниченной стенки величина
q не зависит от
x (q = const) и значит во сколько раз при изменении х и t увеличилась, например, величина λ, во столько же раз должна
уменьшиться величина производной
dt / dx в этой точке.
2.2.5 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-3
Видеть значительное в малом – называется мудростью
Лао-Цзы
Р
ассмотрим теплообмен в плоской стенке, с обоих сторон которой находятся жидкие или газообразные теплоносители, как это
показано на рис. 2.8. Естественно, что процесс возникнет только тогда, когда температуры
t
ж1
и t
ж2
различны. При ГУ-3
значения этих температур, размеры и коэффициент теплопроводности стенки, а также величины коэффициентов теплоотдачи α
1
и α
2
с обоих сторон стенки считаются заданными. Осмысливая задачу, приходим к заключению, что рассматривается типичная
теплопередача через плоскую стенку. Воспользовавшись дифференциальным уравнением граничных условий третьего рода (ГУ-
3, формула (2.11)), запишем для левой и правой поверхностей стенки:
α
1
(t
ж1
– t
с1
) = –λ(dt / dx)
x = 0
и α
2
(t
c2
– t
ж2
) = –λ(dt / dx)
x = δ
.
Ввиду линейности температурного поля внутри стенки значения производных одинаковы и равны:
.
c2c1c1c2
δ
−
−=
δ
−
=
=
δ==
tttt
dx
dt
dx
dt
xx 0
Тогда получаем
x
δ
t
c1
t
c2
t
q
Рис. 2.7 Плоская
стенка при ГУ-1
t
ж1
α
2,
t
ж2
t
c1
t
c2
q
α
1
δ
x
t
Рис. 2.8
Теплопроводность
плоской стенки п
р
и ГУ-3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
