Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В качестве примера рассмотрим двумерное температурное поле, возникающее в однородной пластине толщиной δ,
когда температуры на боковых поверхностях ее различны (см. рис. 2.21). Разделим пластину на элементарные
прямоугольники, нанося сетку с шагом ∆
x по оси x и ∆y по оси y. Выделим узлы сетки вокруг одного из элементов, лежащего
внутри пластины, обозначая их номера вдоль оси
x индексом i, а вдоль оси y – индексом j.
Температурное поле такой пластины будет плоским, и дифференциальное уравнение для него принимает вид:
.0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
t
x
t
Производную
2
2
x
t
∂
∂
представим в виде
∂
∂
∂
∂
x
t
x
и заменим бесконечно малые приращения dt и dx малыми конечными
величинами ∆
t и ∆x:
.
x
x
t
x
t
∆
∆
∆
∆
≈
∂
∂
2
2
Газы имеют очень малую теплопроводность (λ
= 0,005 … 0,4 Вт/(м⋅К)), которая с увеличением температуры заметно
увеличивается. Изменение давления мало влияет на величину λ. Некоторое влияние обнаруживается только при очень
значительном увеличении давления или в очень разреженных газах.
Неметаллические твердые тела могут иметь различную теплопроводность (λ = 0,02 … 4,0 Вт/(м⋅К)). Среди них особый
интерес представляют строительные и теплоизоляционные материалы, большинство которых имеют капиллярно-пористую
структуру и это усложняет механизм процессов, включая сюда и радиационно-конвективный теплообмен в порах. Поэтому
при оценке теплопроводности таких материалов должны учитываться его плотность, влажность и пористость. С
увеличением пористости, уменьшением плотности и влажности коэффициент теплопроводности таких материалов
уменьшается. При увеличении температуры таких материалов коэффициент теплопроводности их заметно увеличивается.
Материалы с λ
< 0,25 Вт/(м⋅К) часто применяют в качестве теплоизоляторов.
Значения коэффициентов теплопроводности λ обычно определяют опытным путем на специальных экспериментальных
установках [14]. Полученные результаты обобщаются и приводятся в справочной литературе [15]
. Можно использовать и
аналитические методы расчета величины λ [6], [16], но они не всегда гарантируют достоверность получаемых результатов.
Анализ опытных данных для множества веществ показывает, что в большинстве случаев зависимость λ
= f (t) может быть
принята линейной
λ = λ
o
(1 + bt),
где λ
о
– теплопроводность материала при t = 0 °С; b – температурный коэффициент, определяемый по результатам
экспериментов. Значения λ
о
и b также приводятся в справочниках.
2.2.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности
И
зучить явление – значит установить зависимость между физическими величинами, характеризующими его. Для анализа
сложных явлений, к которым следует отнести и процессы теплопроводности, в науке сложился общий подход, связанный с
использованием методов математической физики. Суть этого подхода состоит в том, что на основании известных
физических законов устанавливаются искомые связи в пределах бесконечно малого объема внутри тела и за бесконечно
малый промежуток времени. В результате получают дифференциальное уравнение (или систему таких уравнений),
описывающее весь класс исследуемых явлений. Для решения конкретных задач это дифференциальное уравнение
интегрируют в пределах изучаемого пространства и для заданного интервала времени, получая таким путем аналитическое
решение задачи. Когда из-за сложности уравнений проинтегрировать их в квадратурах не удается, прибегают к численным
методам решения.
Выделим мысленно внутри однородного твердого тела, передающего тепло,
элементарно малый параллелепипед со сторонами (
dx, dy и dz (см. рис. 2.4) и запишем
выражение первого закона термодинамики для процесса теплопроводности,
протекающего в течение элементарно малого промежутка времени
dτ:
dLdQdU
*
−= .
Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ
*
– количество
тепла, вносимого в объем теплопроводностью;
dL – работа, совершаемая элементом
против внешних сил. Отметим, что
dL = pd (dV) = 0, )( dzdydxdV
=
,
поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечно
малая величина второго порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда
предыдущая формула упрощается:
dU = dQ
*
. (2.2)
Из термодинамики известно, что
τ
∂τ
∂
ρ==
τ
d
t
dVctddmcdU . (2.3)
Величину dQ
*
представим тремя слагаемыми
q
x
dy
dz
x
y
z
q
x+dx
q
dx
Рис. 2.4 Теплопроводность
элементарного объема

Страницы