Теоретические основы теплотехники - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2121 −−−−−
+
+
+
=
CCBBAA
lllll .
Получим теперь формулу для расчета работы за процесс, интегрируя выражение для элементарной
работы
∫∫
==
−
2
1
2
1
21
dvpdll .
Чтобы проинтегрировать это выражение, заменим параметр р, выразив его через v из уравнения по-
литропы p = const / v
n
, где величину константы можно определить через параметры начала и конца про-
цесса p
1
v
1
n
= const или p
2
v
2
n
= const. Подстановка значения р в подынтегральное выражение приводит нас
к простому степенному интегралу. Выполняем интегрирование и простейшие преобразования
=
−21
l =
+−
==
+−−
∫∫
1
2
2
1
2
1
1
1
1
v
v
n
v
v
n
v
v
n
v
n
dvvdv
v
constconst
const
=−
+−
=−
+−
=
+−+−+−+−
)()const(const
1
111
1
222
1
1
1
2
1
1
1
1
nnnnnn
vvpvvp
n
vv
n
).(
2211
1
1
vpvp
n
−
−
=
Заменяя произведения p
1
v
1
и p
2
v
2
выражениями RТ
1
и RТ
2
, соответственно, получим еще одну про-
стую формулу
)(
2121
1
TT
n
R
l −
−
=
−
.
Тепло за процесс определяем, интегрируя выражение для элементарно малого количества тепла, за-
писанное через теплоемкость
∫
=
−
2
1
21
dTcq
пол
,
где с
пол
– теплоемкость исследуемого политропного процесса. Чтобы найти эту величину, запишем
формулу (1.23) для политропного процесса, учитывая, что при этом производная dv/dT станет частной
пол
пол
∂
∂
∂
∂
+=
T
v
T
p
Tcc
v
v
. (1.25)
Частную производную (∂p/∂T)
v
для идеального газа мы уже находили, она равна R/v. Чтобы найти част-
ную производную (∂v/∂T)
пол
, прологарифмируем, а затем продифференцируем уравнение политропы,
связывающее параметры v и Т:
const=
−1n
Tv ; 011 =−+→=−+
v
vd
n
T
Td
vnT
полпол
)(constln)ln(ln .
Из последней формулы находим
1
1
−
−=
∂
∂
nT
v
T
v
пол
,
и, подставляя эти выражения в формулу (1.25), получаем
1111
1
−
−
=
−
−
−=
−
−=
−
−+=
n
kn
c
n
cc
c
n
R
c
nT
v
v
R
Tcc
v
vp
vvvпол
, (1.26)
где k = c
p
/ c
v
– показатель адиабаты данного газа.
Из полученной формулы видно, что в каждом конкретном процессе (значение n имеет некоторую
конкретную величину) величина c
пол
зависит только от свойств газа и в течение процесса остается по-
стоянной. Политропный процесс – это процесс, в котором теплоемкость постоянна, и часто это его
свойство и кладется в основу его определения. На рис. 1.18 приведена зависимость величины c
пол
от пока-
зателя политропы n, построенная на основании формулы (1.26). Отметим, что при n = 0 c
пол
= с
р
, при n = ∞
c
пол
= c
v
, а при n = 1 функция имеет разрыв и величина c
пол
стремится к ±∞.
Теперь нетрудно и проинтегрировать выражение c
пол
dT, чтобы получить формулу для расчета тепла
за процесс

Страницы