Теоретические основы теплотехники - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

класс исследуемых явлений. Для решения конкретных задач это дифференциальное уравнение интегри-
руют в пределах изучаемого пространства и для заданного интервала времени, получая таким путем ана-
литическое решение задачи. Когда из-за сложности уравнений проинтегрировать их в квадратурах не уда-
ется, прибегают к численным методам решения.
Выделим мысленно внутри однородного твердого тела, передающе-
го тепло, элементарно малый параллелепипед со сторонами (dx, dy и dz
(см. рис. 2.4) и запишем выражение первого закона термодинамики для
процесса теплопроводности, протекающего в течение элементарно ма-
лого промежутка времени dτ:
dLdQdU
*
−= .
Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ
*
–
количество тепла, вносимого в объем теплопроводностью; dL – работа,
совершаемая элементом против внешних сил. Отметим, что
dL = pd (dV) = 0, )( dzdydxdV
=
,
поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечно малая величина второ-
го порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда предыдущая формула упрощается:
dU = dQ
*
. (2.2)
Из термодинамики известно, что
τ
∂τ
∂
ρ==
τ
d
t
dVctddmcdU . (2.3)
Величину dQ
*
представим тремя слагаемыми
****
zyx
dQdQdQdQ ++= , (2.4)
и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через q
x
и q
x + dx
обозначим
удельные тепловые потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – вы-
ходит из него (см. рис. 2.4), то количество тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направле-
нию х, будет:
.)(
*
τ−=τ−τ=
++
ddzdyqqddzdyqddzdyqdQ
dxxxdxxxx
(2.5)
Поскольку функция q
x
= f (x) непрерывна (для распространения тепла нет препятствий), то связь между
предыдущим значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тей-
лора
....
!!
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
3
3
3
2
2
2
3
1
2
1
dx
x
q
dx
x
q
dx
x
q
qq
xxx
xdxx
Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких
порядков малости. Тогда формулу (2.5) можно переписать:
τ
∂
∂
−=τ
∂
∂
−= ddV
x
q
ddzdydx
x
q
dQ
xx
*
.
Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по
q
x
dy
dz
x
y
z
q
x+dx
q
dx

Страницы