Теоретические основы теплотехники - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

структуре выражения для
*
y
dQ и
*
z
dQ . Тогда формула (2.4) может быть представлена так:
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= ddV
z
q
y
q
x
q
dQ
z
y
x
*
. (2.6)
Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией век-
тора и обозначают словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому:
dQ
*
= –divq – dV dτ. (2.7)
Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на координатные оси дает
x
t
x,
ˆ
n
n
t
q
x
∂
∂
λ−
∂
∂
λ−= =)cos( ,
y
t
q
y
∂
∂
λ−= ,
z
t
q
z
∂
∂
λ−= .
Подставим эти выражения в формулу (2.6)
.
*
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
=τ
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
−=
ddV
z
t
y
t
x
t
ddV
z
t
zy
t
yx
t
x
dQ
2
2
2
2
2
2
(2.8)
Подставим теперь в формулу (2.2) значения dU и dQ
*
по формулам (2.3) и (2.8), соответственно.
После сокращения получаем
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
τ∂
∂
ρ
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
tt
c
или окончательно
.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
λ
=
τ∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
c
t
(2.9)
Если преобразовать формулу (2.7), то дифференциальное уравнение теплопроводности можно по-
лучить в виде
) grad(div t
c
t
λ
ρ
=
∂τ
∂
1
. (2.10)
Это более общая запись, в ней не предполагается, как это сделано при выводе формулы (2.9), что λ =
const.
Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей на-
зывают оператором Лапласа и обозначают для краткости символами ∇
2
. Множитель ),/( ρλ с составлен из
физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способ-
ность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику на-
зывают коэффициентом температуропроводности а:
a = λ / (сρ),
поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке
тела. Коэффициент а имеет важное значение только для нестационарных процессов.
В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно:

Страницы