Теоретические основы теплотехники - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

./ tat
2
∇=∂τ∂
Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по
времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения все-
го класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фу-
рье.
2.2.3 Условия однозначности в задачах теплопроводности
Прежде чем найти решение, надо сделать
целый ряд расчетов самого различного свойства
Д. Родари
ак и любое дифференциальное уравнение, уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений.
Чтобы из этого множества выбрать решение конкретной задачи, нужно при интегрировании уравне-
ния учитывать и использовать для определения произвольных постоянных математическое описание
особенностей этого конкретного случая. Такое описание особенностей конкретной задачи называют ус-
ловиями однозначности или (менее удачно) краевыми условиями.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования
(элементарно малый объем внутри тела) мы исключили большое количество информации, важной для
конкретных задач. Условия однозначности призваны вернуть утраты и должны содержать следующую
информацию:
– о форме и размерах тела (геометрические условия);
– о физических свойствах вещества, включая численные значения теплофизических коэффициентов
λ, с, р и др. (физические условия);
– о распределении температуры в теле в начальный момент времени, т.е. нужно знать температур-
ное поле при τ = 0 (начальные условия): t
0
= f (x, y, z). В простейшем случае t
0
= const и задается чис-
ленное значение этой константы;
– об условиях теплообмена на границе между телом и средой, т.е. об условиях на поверхности тела
(граничные условия).
Граничные условия можно задать разными способами. Когда задают температуру на поверхности тела,
t
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ),
то это называют заданием граничных условий первого рода (ГУ-1). В простейшем случае счи-
тается t
п
= const и задается значение t
п
.
При граничных условиях второго рода (ГУ-2) задают удельный тепловой поток на поверхности те-
ла: q
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ). В простейшем случае принимают q
п
= const.
Чаще всего известны температура окружающей тело жидкой или газообразной среды и величина
коэффициента теплоотдачи α, характеризующая интенсивность теплообмена на поверхности тела. То-
гда говорят, что заданы ГУ-3 (см. рис. 2.5). Отметим, что при любой форме поверхности весь тепловой
поток, передаваемый теплоотдачей передается теплопроводностью через элементарно тонкий слой на
поверхности тела. Поэтому можно записать следующее теплобалансовое уравнение
αλ
=
qq
или, воспользовавшись законами Ньютона-Рихмана и Фурье,
.)(
жс
0
=
∂
∂
λ−=−α
n
n
t
tt (2.11)
Формула (2.11) в дифференциальной форме описывает связь между t
c
и t
ж
и во многих случаях (ко-
гда удается рассчитать значение производной) позволяет перейти от ГУ-3 к ГУ-1.
К

Страницы