Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

132 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
4.3.14. Найдите частные производные третьего порядка и вычис-
лите их значения в указанной точке M
0
от следующих функций:
а) u(x, y, z) = sin(2x + 3y + 4z), M
0
(0, 0, 0);
б) u(x, y) = x
4
+ 2x
3
y − 3x
2
y
2
+ 2xy
3
+ y
4
, M
0
(1, 2).
Ответы: а) u
′′′
xxx
(M
0
) = −8, u
′′′
y yy
(M
0
) = −27, u
′′′
zzz
(M
0
) = −64,
u
′′′
xxy
(M
0
) = −12, u
′′′
y yx
(M
0
) = −18, u
′′′
xxz
(M
0
) = −16, u
′′′
y yz
(M
0
) = −36,
u
′′′
zzx
(M
0
) = −32, u
′′′
zzy
(M
0
) = −48, u
′′′
xy z
(M
0
) = −24; б) u
′′′
xxx
(M
0
) = 48,
u
′′′
y yy
(M
0
) = 60, u
′′′
y xx
(M
0
) = −12, u
′′′
xy y
(M
0
) = 12.
4.3.15. Докажите, что функция f (x, y, z) =
1
p
x
2
+ y
2
+ z
2
удо-
влетворяет уравнению
∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
+
∂
2
f
∂z
2
= 0.
4.3.16. Найдите
dz
dx
и
d
2
z
dx
2
, если:
а) z = f(u, v), u =
1
x
2
, v = ln x;
б) z = f(u, v), u = e
2x
, v = sin x;
в) z = f(x, u, v), u = x
2
, v = x
3
;
г) z = sin
2
xf(u, v), u = 2x, v = 5x.
Ответы: а)
dz
dx
=
∂f
∂u
· (−
2
x
3
) +
∂f
∂v
·
1
x
,
d
2
z
dx
2
=
∂f
∂u
·
6
x
4
−
∂f
∂v
·
1
x
2
+
∂
2
f
∂u
2
·
4
x
6
+
∂
2
f
∂v
2
·
1
x
2
−
∂
2
f
∂u∂v
·
4
x
4
;
б)
dz
dx
= 2
∂f
∂u
· e
2x
+ cos x
∂f
∂v
,
d
2
z
dx
2
= 4e
2x
∂f
∂u
− sin x
∂f
∂v
+ 4e
4x
∂
2
f
∂u
2
+ (cos
2
x)
∂
2
f
∂v
2
+ 4e
2x
cos x
∂
2
f
∂u∂v
;
в)
dz
dx
=
∂f
∂x
+
∂f
∂u
·2x +
∂f
∂v
·3x
2
,
d
2
z
dx
2
=
∂f
2
∂x
2
+ 2
∂f
∂u
+ 6x
∂f
∂v
+ 4x
2
∂
2
f
∂u
2
+
+9x
4
∂
2
f
∂v
2
+ 12x
3
∂
2
f
∂u∂v
+ 2x
∂
2
f
∂u∂x
+ 3x
2
∂
2
f
∂v∂x
;
г)
dz
dx
= sin 2xf (u, v) + 2 sin
2
x
∂f
∂u
+ 5 sin
2
x
∂f
∂v
,
d
2
z
dx
2
= 2 cos 2xf (u, v) + 4 sin 2x
∂f
∂u
+ 10 sin 2x
∂f
∂v
+ 4 sin
2
x
∂
2
f
∂u
2
+
+ 25 sin
2
x
∂
2
f
∂v
2
+ 20 sin
2
x
∂
2
f
∂u∂v
.
4.3.17. Найдите
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂x∂y
,
∂
2
z
∂y
2
, если:
а) z = f(u, v), u = xy; v = x/y; б) z = f (u, v), u = 2x+3y, v = 4x−2y.

Страницы