Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Производная по направлению 133
4.4. Производная по направлению (задача 6)
Рекомендуется изучить п. 2.4.
Пусть дана функция f(M) = f(x, y, z), имеющая в точке
M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) конечные частные производные
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
.
Производную по направлению вектора a, как показано в п. 2.4,
можно найти по формуле
∂f
∂a
(M
0
) =
∂f
∂x
(M
0
) cos α +
∂f
∂y
(M
0
) cos β +
∂f
∂z
(M
0
) cos γ,
где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы вектора a. Вектор
∂f
∂x
(M
0
),
∂f
∂y
(M
0
),
∂f
∂z
(M
0
)
, совпадающий с производной матрицей
функции f (M ) в точке M
0
, называют градиентом функции f(M)
в точке M
0
и обозначают grad f(M
0
). Производную в направлении
вектора a можно найти по формуле
∂f
∂a
= (grad f(M
0
), a
0
),
где a
0
— орт вектора a, т.е. вектор, направленный так же, как вектор
a, но по длине равный единице. Напомним, что если a = {x, y, z}, то
a
0
=
(
x
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
z
p
x
2
+ y
2
+ z
2
)
.
4.4.1. Найдите градиент и производную по направлению
a = {3, 0, −4} в точке M
0
(1, 2, −3) функции f(x, y, z) = arctg
yz + 1
x
.
Решение. Найдем сначала grad f(M
0
):
∂f
∂x
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
−(yz + 1)
x
2
= −
yz + 1
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂x
(M
0
) =
5
26
,
∂f
∂y
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
z
x
=
xz
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂y
(M
0
) = −
3
26
,
∂f
∂z
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
y
x
=
yx
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂z
(M
0
) =
2
26
.
Таким образом, grad f(M
0
) =
5
26
, −
3
26
,
2
26
.

Страницы