Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Производная по направлению 135
Задачи для самостоятельного решения
4.4.4. Найдите градиент в указанной точке M
0
для следующих
функций:
а) f(x, y, z) =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, M
0
(1, −2, −2);
б) f(x, y, z) =
yz
2
x
2
, M
0
√
2,
1
√
2
,
1
√
3
.
Ответы: а)
1
3
, −
2
3
, −
2
3
; б)
−
1
6
,
1
6
,
1
√
6
.
4.4.5. Для данной функции в указанной точке найдите направ-
ление l, в котором она изменяется наиболее быстро, укажите макси-
мальную скорость этого изменения:
а) f(x, y, z) = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
− xy − 4x + 2y − 4z, M
0
(0, 0, 1);
б) f(x, y, z) = x
2
y + y
2
z + z
2
x, M
0
(2, 1, 2).
Ответы: а) {−4, 2, 2},
√
24; б) {8, 8, 9},
√
209.
4.4.6. Найдите производные по указанному направлению в дан-
ной точке от следующих функций:
а) f(x, y, z) = xy + yz + zx, a = {3, 4, 12}, M
0
(1, 2, −1);
б) f(x, y, z) = x
2
− 3yz + 5, a = {1, 1, 1}, M
0
(2, 1, 3).
Ответы: а) 3; б) −
8
√
3
.
4.4.7. Найдите производную функции z = x
2
− xy − 2y
2
в точке
P (1, 2) в направлении, составляющем с осью OX угол 60
◦
.
Ответ: −
9
√
3
2
.
4.4.8. Найдите производную функции z = ln
p
x
2
+ y
2
в точке
M(1, 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.
Ответ:
√
2
2
.
4.4.9. Найдите косинус угла между градиентами функции
z = ln
y
x
в точках A
1
2
,
1
4
и B(1, 1).
Ответ:
3
√
10
.

Страницы