Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

136 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
4.5. Производные параметрически заданных
функций (задача 7)
Рекомендуется изучить п. 1.6.
Если функция y = f(x) задана параметрически в виде
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ T , и функции x(t) и y(t) имеют производные
достаточно высокого порядка, то производные
y
′
x
, y
′′
xx
, . . . , y
(n)
(x)
можно найти по формулам
y
′
x
=
y
′
t
x
′
t
,
x = x(t),
y
′′
xx
=
(y
′
x
)
′
t
x
′
t
,
x = x(t),
y
′′′
xxx
=
(y
′′
xx
)
′
t
x
′
t
,
x = x(t)
и т.д.
4.5.1. Найдите y
′
x
и y
′′
xx
, если функция y = f(x) задана парамет-
рически
x = ln(1 + t
2
),
y = t − arctg t.
Вычислите значение y
′′
xx
при t = 1.
Решение. Найдем сначала x
′
t
и y
′
t
: x
′
t
=
2t
1 + t
2
,
y
′
t
= 1 −
1
1 + t
2
=
t
2
1 + t
2
, следовательно,
y
′
t
x
′
t
=
t
2
/(1 + t
2
)
2t/(1 + t
2
)
=
t
2
, поэто-
му
(
y
′
x
=
t
2
,
x = t − arctg t.
Так как (y
′
x
)
′
t
=
1
2
,
(y
′
x
)
′
t
x
′
(t)
==
t
2
+ 1
4t
, то
y
′′
xx
=
t
2
+ 1
4t
,
x = t − arctg t.
При t = 1 вторая производная y
′′
xx
=
1 + 1
4
=
1
2
.
Задачи для самостоятельного решения
4.5.2. Найдите y
′
x
от следующих функций, заданных параметри-
чески: а)
y(t) = arccos 2t,
x(t) = arcsin(t
2
− 1);
б)
(
y(t) = a s in t + b cos t,
x(t) = 4 tg
2
t
2
.
4.5.3. Найдите y
′′
xx
следующих функций и вычислите значение
y
′′
xx
в указанной точке t = t
0
:
а)
y(t) =
t
3
3
− t,
x(t) = t
2
+ 2,
t
0
= 1; б)
y(t) =
√
1 − t
2
,
x(t) = arcsin t,
t
0
= 0.
Ответы: а)
1
2
; б) −1.

Страницы