Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

138 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
б) в рассматриваемом случае Φ(x, y) = x
2
+ 2xy − y
2
= 0, по-
этому y
′
(x) = −
2x + 2y
2x − 2y
=
x + y
y − x
. Находим вторую производную,
дифференцируя частное
x + y
y − x
с учетом, что y есть функция от x.
Получаем y
′′
(x) =
(1 + y
′
)(y − x) − (x + y)(y
′
− 1)
(y − x)
2
=
=
2y − 2xy
′
(y − x)
2
=
2y − 2x ·
x + y
y − x
(y − x)
2
=
2(y
2
− x
2
− 2xy)
(y − x)
3
.
Можно было бы найти и третью производную, дифференцируя
по x последнее частное.
Подчеркнем, что все производные от неявно заданной функции
выражаются явно через x и y.
4.6.3. Найдите значение y
′′
(x) в точке x = 0, если x
4
−xy +y
4
= 1
и y(0) = 1.
Решение. В тех задачах, в которых требуется найти только зна-
чения производных в указанной точке, а явное их выражение че-
рез x и y находить не требуется, можно поступить п о-другому,
не используя формулу (а). Дифференцируем дважды тождество
x
4
− xy(x) + y
4
(x) = 1 по x. Получаем
4x
3
− y(x) − xy
′
(x) + 4y
3
y
′
(x) = 0,
12x
2
− y
′
(x) − y
′
(x) − xy
′′
(x) + 12y
2
[y
′
(x)]
2
+ 4y
3
y
′′
(x) = 0.
Из первого соотношения при x = 0 и y = 1 получаем y
′
(0) = 1/4.
Полагая x = 0, y = 1, y
′
(0) = 1/4, из второго соотношения находим
y
′′
(0) = −1/16.
4.6.4. Функция z(x, y) задана неявно уравнением
Φ(x, y, z) = 2x
2
+ 2y
2
+ z
2
−8xz −z + 8 = 0. Найдите
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂y
2
,
∂
2
z
∂x∂y
и вычислите их значения в точке (2, 0).
Решение. Применяя формулы (б), находим
∂z
∂x
= −
Φ
′
x
Φ
′
z
= −
4x − 8z
2z − 8x − 1
,
∂z
∂y
= −
Φ
′
y
Φ
′
z
= −
4y
2z − 6x − 1
.
При x = 2, y = 0 для определения z получаем уравнение
Φ(2, 0, z) = 8 + z
2
− 16z − z + 8 = z
2
− 17z + 16 = 0.
Отсюда находим два значения z: z
1
= 1, z
2
= 16, т.е. данное урав-
нение в окрестности точки (2, 0) определяет две функции z(x, y).
Будем вычислять значения частных производных той из них, для
которой z = 1.

Страницы