Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

140 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Отсюда при x = 0, y = 1, z = 1 следует, что 5 + 4z
′
y
(0, 1) = 0, поэтому
z
′
y
(0, 1) = −5/4.
Для отыскания z
′′
xx
(0, 1) дифференцируем по x тождество (г):
12x
2
y
4
+ 2z
5
(x, y) + 10x [z(x, y)]
4
z
′
x
+ 10x [z(x, y)]
4
z
′
x
(x, y)+
+20x
2
[z(x, y)]
3
(z
′
x
)
2
+ 5x
2
[z(x, y)]
4
z
′′
xx
+ 4z
′′
xx
= 0.
Отсюда при x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, z
′
x
(0, 1) = 0 следует, что
2 + 4z
′′
xx
(0, 1) = 0, т. е. z
′′
xx
(0, 1) = −1/2.
Для отыскания z
′′
y x
дифференцируем тождество (г) по перемен-
ной y:
16x
3
y
3
+ 10x [z(x, y)]
4
z
′
y
(x, y) + 20x
2
[z(x, y)]
3
z
′
y
· z
′
x
+
+5x
2
[z(x, y)]
4
· z
′′
xy
+ 4z
′′
xy
= 0.
Отсюда при x = 0, y = 1, z
′
x
(0, 1) = 0, z
′
y
(0, 1) = −5/4 следует, что
z
′′
xy
= 0.
Для отыскания z
′′
y y
дифференцируем по пере менной y тождество
(д): 12x
4
y
2
+ 20y
3
+ 20x
2
[z(x, y)]
3
z
′
y
(x, y)
2
+
+5x
2
[z(x, y)]
4
z
′′
y y
(x, y) + 4z
′′
y y
= 0.
Полагаем x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, z
′
y
(0, 1) = −5/4. Получаем
20 + 4z
′′
y y
(0, 1) = 0, следовательно, z
′′
y y
(0, 1) = −5.
Задачи для самостоятельного решения
4.6.6. Найдите y
′
x
функций, заданных неявно следующими урав-
нениями:
а) x
4
+ y
4
− 3x
2
y
2
= 1; б) y = 1 + y
x
.
Ответы: а) −
2x
3
− 3xy
2
2y
3
− 3x
2
y
; б)
y
x
ln y
1 − xy
x−1
.
4.6.7. Найдите значения y
′
x
в указанной точке x
0
функций, за-
данных неявно следующими уравнениями:
а) x
2
− 2xy + y
2
+ x + y − 2 = 0, x
0
= 1;
б) ln x + e
−y /x
= 1, x
0
= 1.
Ответы: а) 3 или −1; б) 1.
4.6.8. Найдите y
′′
(x) функций, заданных неявно следующими
уравнениями:
а) e
x
− e
y
= y − x; б) ln
p
x
2
+ y
2
= arctg(y/x).
Ответы: а)
e
x
(e
y
+ 1)
2
− e
y
(e
x
+ 1)
2
(e
y
+ 1)
3
; б)
2(x
2
+ y
2
)
(x − y)
3
.

Страницы