Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

142 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
4.7.2. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону
x = t
2
+ t + 1. Определите его кинетическую энергию в момент вре-
мени t = 5 c (x дается в метрах).
Решение. Кинетическую энергию W можно найти по форму-
ле W =
mv
2
2
. Так как v(5) = (2t + 1)
t=5
= 11 м/c, то W =
4 · 11
2
2
=
= 242 Дж.
Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x)
в точке (x
0
, f(x
0
)) можно записать соответственно в виде
y − y
0
= f
′
(x
0
)(x − x
0
); (а)
y − y
0
= −
1
f
′
(x
0
)
(x − x
0
). (б)
4.7.3. Составьте уравнение касательной и нормали к графику
функции f(x) = x
3
− 3x + 5 в точке x
0
= 2.
Решение. В нашем случае y
0
= f(x
0
) = f(2) = 2
3
− 3 · 2 + 5 = 7,
f
′
(x) = 3x
2
− 3, f
′
(x
0
) = f
′
(2) = 3 · 2
2
− 3 = 9. Записываем, исполь-
зуя формулы (а) и (б), уравнение касательной y − 7 = 9(x − 2), или
y = 9x − 11, и нормали y − 7 = −
1
9
(x − 2), или x + 9y −65 = 0.
4.7.4. Запишите уравнение касательной и нормали кривой, за-
данной параметрически
x = t
2
+ 3t − 8,
y = 2t
2
− 2t − 5
в точке, соответствую-
щей значению параметра t
0
= 1.
Решение. Находим значение x
0
, y
0
, f
′
(x
0
): x
0
= x(1) = 1 + 3 −8 =
= −4, y
0
= y(1) = 2 − 2 − 5 = −5,
y
′
x
=
4t − 2
2t + 3
,
x = t
3
+ 3t − 8,
y
′
(1) =
4 − 2
2 + 3
=
2
5
. Записываем уравнение каса-
тельной y + 5 =
2
5
(x + 4), или 2x − 5y − 17 = 0, и нормали y + 5 =
= −
5
2
(x + 4), или 5x + 2y + 30 = 0.
4.7.5. Составьте уравнение касательной и нормали к графику
функции y(x), заданной неявно уравнением x
5
+ y
5
− 2xy = 0 в точке
M
0
(1, 1).
Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной
функции получаем y
′
x
= −
5x
4
− 2y
5y
4
− 2x
, y
′
(1) = −
5 − 2
5 − 2
= −1. Поэто-
му уравнение касательной y − 1 = 1 − x, или x + y = 2, а нормали
x − y = 0.

Страницы