Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

144 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Если поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0, неразрешён-
ным относительно z, т.е. функция z = f(x, y) задана неявно, то ка-
сательная плоскость в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) определяется уравнением
∂F
∂x
(M
0
)(x − x
0
) +
∂F
∂y
(M
0
)(y −y
0
) +
∂F
∂z
(M
0
)(z − z
0
) = 0, (д)
а нормаль — уравнением
x − x
0
∂F
∂x
(M
0
)
=
y −y
0
∂F
∂y
(M
0
)
=
z − z
0
∂F
∂z
(M
0
)
. (е)
Как видим, вектор N =
∂F
∂x
,
∂F
∂y
,
∂F
∂z
, называемый вектором
нормали к поверхности, совпадает с вектором grad F . В этом за-
ключается геометрический смысл производной матрицы функции
u = F (x, y, z).
4.7.8. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности z = x
4
+ 2x
2
y −xy + x в точке M
0
(1, 0, 2).
Решение. Искомые уравнения запишем в форме (в) и (г). Нахо-
дим
∂z
∂x
= 4x
3
+ 4xy −y + 1,
∂z
∂x
(M
0
) = 4 + 1 = 5,
∂z
∂y
= 2x
2
− x,
∂z
∂y
(M
0
) = 2 − 1 = 1.
Поэтому уравнение касательной плоскости имеет вид 5(x − 1) + y −
−(z −2) = 0, или 5x + y −z −3 = 0, а нормали —
x − 1
5
=
y
1
=
z − 2
−1
.
4.7.9. Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением
F (x, y, z) = x
2
+ 2y
2
− 3z
2
+ xy + yz − 2xz + 16 = 0,
в точке M
0
(1, 2, 3).
Решение. В данной задаче, так как уравнение поверхности задано
неявно, используем форму записи (д) и (е).
Находим
∂F
∂x
= 2x + y − 2z,
∂F
∂x
(M
0
) = 2 + 2 − 6 = −2,
∂F
∂y
= 4y + x + z,
∂F
∂y
(M
0
) = 8 + 1 + 3 = 12,
∂F
∂z
= −6z + y − 2x,
∂F
∂z
(M
0
) = −18 + 2 − 2 = −18.

Страницы