Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.7. Геометрический и механический смысл производной 143
4.7.6. Запишите уравнение касательной прямой и нормальной
плоскости пространственной кривой, заданной вектор-функцией ска-
лярного аргумента r(t) = (t
2
− 1)i + (t
3
− 3)j + (3t − 1)k при t
0
= 2.
Решение. Находим координаты точки, соответствующей значе-
нию t
0
= 2 : M
0
(3, 5, 5). Вектор r
′
(t) = 2ti + 3t
2
j + 3k касается данной
кривой, r
′
(2) = 4i + 12j + 3k. Касательная проходит через точку
M
0
(3, 5, 5) параллельно вектору l = r
′
(2). Запишем её канонические
уравнения:
x − 3
4
=
y −5
12
=
z −5
3
.
Нормальная плоскость к кривой проходит через точку M
0
(3, 5, 5)
перпендикулярно вектору N = r
′
(2) = {4, 12, 3}. Поэтому её урав-
нение можно записать в виде 4(x − 3) + 12(y −5) + 3(z − 5) = 0, или
4x + 12y + 3z − 87 = 0.
4.7.7. Найдите углы, под которыми пересекаются кривые y
1
= x
2
и y
2
= ±
√
x.
Решение. Данные кривые пересекаются в двух точках M
1
(0, 0)
и M
2
(1, 1). Поскольку y
′
1
= 2x и y
′
1
(0) = 0, то парабола y
1
= x
2
ка-
сается оси OX. Так как y
′
2
= ±
1
2
√
x
→ ∞ при x → 0, то кривая
y
2
= ±
√
x касается оси OY . Следовательно, в точке M
1
(0, 0) эти кри-
вые пересекаются под прямым углом. Для точки M
2
(1, 1) получаем
k
1
= y
′
1
(1) = 2, k
2
= y
′
2
=
1
2
. Поэтому
tg ϕ =
|k
2
− k
1
|
1 + k
1
k
2
=
|2 − 0,5|
1 + 0,5 · 2
=
3
4
, ϕ = arctg
3
4
,
где ϕ — угол между касательными к данным кривым в точке M
2
.
Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y), причем функ-
ция f(x, y) в каждой точке своей области определения имеет непре-
рывные частные производные. Тогда уравнение касательной плоско-
сти в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) поверхности записывается так:
∂f
∂x
(M
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(M
0
)(y − y
0
) − (z − z
0
) = 0. (в)
Прямая, проходящая через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ортогонально каса-
тельной плоскости, называется нормалью к поверхности.
Её уравнение:
x − x
0
∂z
∂x
(M
0
)
=
y − y
0
∂z
∂y
(M
0
)
=
z − z
0
−1
. (г)

Страницы