Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.6. Геометрический и механический смысл производной 141
4.6.9. Найдите значение y
′′
(x) в указанной точке функций, за-
данных неявно следующими уравнениями:
а) x
2
− xy + 2y
2
+ x − y − 1 = 0, при x = 0, y = 1;
б) x
2
− xy + 2y
2
+ x − y − 2 = 0, x
0
= 1.
Ответы: а) −
2
3
; б) 4; −4.
4.6.10. Найдите
∂z
∂x
и
∂z
∂y
, если функция z(x, y) задана неявно
следующими уравнениями:
а) x
3
y
2
+ x
2
z
3
+ yz
2
= 1; б) xyz + tg xyz = 1.
Ответы: а) −
3x
2
y
2
+ 2xz
3
3z
2
x
2
+ 2zy
, −
2x
3
y + z
2
3z
2
x
2
+ 2zy
; б) −
z
x
, −
z
y
.
4.6.11. Найдите
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂x∂y
,
∂
2
z
∂y
2
, если функция z(x, y) задана
неявно следующими уравнениями:
а) x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
; б) x + y + z = e
z
.
Ответы: а) −
x
2
+ z
2
z
3
, −
xy
z
3
, −
y
2
+ z
2
z
3
; б) −
x + y + z
(x + y + z − 1)
3
.
4.6.12. Вычислите значения вторых частных производных в ука-
занной точке для функций, заданных неявно следующими уравне-
ниями:
а) z
3
+ 3xyz = 4, M
0
(1, 1, 1);
б) x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
+ xy − z − 9 = 0, M
0
(1, −2, 1).
Ответы: а) z
′′
xx
(M
0
) =
1
4
= z
′′
y y
, z
′′
xy
(M
0
) = −
1
4
; б) z
′′
xx
(M
0
) = −
2
5
,
z
′′
y y
(M
0
) = −
394
125
, z
′′
xy
(M
0
) = −
1
5
.
4.7. Геометрический и механический смысл
производной (задача 9)
Рекомендуется изучить пп. 2.8 и 2.9.
4.7.1. Закон движения точки по прямой имеет вид
x(t) =
1
5
t
5
+
1
4
t
4
+t
2
(x дается в сантиметрах, t — в секундах). Найдите
скорость и ускорение точки в момент времени t
0
= 2.
Решение. Известно, что скорость точки равна v(t
0
) = x
′
(t
0
),
а ускорение равно a(t
0
) = x
′′
(t
0
). Так как x
′
(t) = t
4
+ t
3
+ 2t,
x
′′
(t) = 4t
3
+ 3t
2
+ 2, то
v(t
0
) = 2
4
+ 2
3
+ 4 = 28 см/c, a(t
0
) = 4 ·2
3
+ 3 ·2
2
+ 2 = 46 см/c
2
.

Страницы