Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.6. Дифференцирование функций, заданных неявно 139
Теперь
∂z
∂x
(2, 0) = −
8 − 8
2 − 16 − 1
= 0,
∂z
∂y
(2, 0) = 0.
Находим вторые частные производные:
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x
8z −4x
2z −8x −1
=
=
(8z
′
x
− 4)(2z −8x −1) −(2z
′
x
− 8)(8z −4x)
(2z −8x −1)
2
=
=
(16z −64x −8 −16z + 8x)z
′
x
− (8z − 32x − 4 − 64z + 32x)
(2z − 8x − 1)
2
=
=
(56x + 8) ·
4x − 8z
2z − 8x − 1
+ (56z + 4)
(2z − 8x − 1)
2
;
∂
2
z
∂x
2
(2, 0) =
56 + 4
(2 − 16 − 1)
2
=
60
15
2
=
4
15
;
∂
2
z
∂y
2
= −
4(2z − 8x − 1) − 4y · 2z
′
y
(2z − 8x − 1)
2
,
∂
2
z
∂y
2
(2, 0) =
60
15
2
=
4
15
;
∂
2
z
∂x∂y
=
4y(2z
′
x
− 8)
(2z − 8x − 1)
2
,
∂
2
z
∂x∂y
(2, 0) = 0.
Чтобы найти явное выражение
∂
2
z
∂y
2
и
∂
2
z
∂x∂y
через x и y, нужно в
соотношения для z
′′
y y
, z
′′
xy
подставить выражения для z
′
y
и z
′
x
.
4.6.5. Функция z(x, y) задана неявно уравнением
Φ(x, y, z) = x
4
y
4
+ y
5
+ x
2
z
5
+ 4z − 5 = 0.
Найдите значения частных производных
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂y
2
,
∂
2
z
∂x∂y
в точке M
0
(0, 1).
Решение. В данной задаче явное выражение частных производ-
ных через x и y находить не требуется, а нужно найти только их
значения в указанной точке. Это можно сделать, не используя фор-
мул (б), следующим образом. Заметим, что при x = 0, y = 1 из урав-
нения Φ(0, 1, z) = 1 + 4z − 5 = 0 получаем z = 1. Дифференцируем
тождество
x
4
y
4
+ y
5
+ x
2
[z(x, y)]
5
+ 4z(x, y) − 5 = 0 (в)
по x: 4x
3
y
4
+ 2x [z(x, y)]
5
+ x
2
· 5 [z(x, y)]
4
z
′
x
+ 4z
′
x
= 0. (г)
Полагая в (г) x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, получаем z
′
x
(0, 1) = 0. Диф-
ференцируем теперь тождество (в) по y:
4x
4
y
3
+ 5y
4
+ 5x
2
[z(x, y)]
4
z
′
y
(x, y) + 4z
′
y
(x, y) = 0. (д)

Страницы