Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.5. Дифференцирование функций, заданных неявно 137
4.6. Дифференцирование функций, заданных
неявно (задача 8)
Требуется изучить п. 4.7.
Пусть уравнение Φ(x, y) = 0 определяет неявно на [a, b] функ-
цию y = y(x), т.е. на [a, b] справедливо тождество Φ [x, y(x)] ≡ 0
относительно x. Если функция Φ(x, y) имеет непрерывные частные
производные по x и по y и
∂Φ
∂y
6= 0, то
y
′
(x) = −
∂Φ
∂x
∂Φ
∂y
= −
Φ
′
x
Φ
′
y
. (а)
Если уравнение Φ(x, y, z) = 0 определяет неявно в области D
функцию z = z(x, y), т.е. в области D выполняется тождество
Φ(x, y, z(x, y)) ≡ 0 относительно (x, y) ∈ D, и функция Φ(x, y, z) име-
ет частные производные Φ
′
x
, Φ
′
y
, Φ
′
z
, причём Φ
′
z
6= 0, то справедливы
формулы
∂z
∂x
= −
Φ
′
x
Φ
′
z
,
∂z
∂y
= −
Φ
′
y
Φ
′
z
. (б)
4.6.1. Найдите y
′
x
от следующих функций y(x), заданных неявно
уравнениями:
а) Φ(x, y) = x
3
+ x
2
y + y
2
= 0; б) y
3
=
x − y
x + y
.
Решение: а) y
′
x
= −
Φ
′
x
Φ
′
y
= −
3x
2
+ 2xy
x
2
+ 2y
;
б) данное соотношение перепишем в виде
Φ(x, y) = y
3
(x + y) − x + y = y
3
x + y
4
− x + y = 0.
Тогда y
′
x
= −
y
3
− 1
3y
2
x + 4y
3
+ 1
.
4.6.2. Найдите y
′′
x
от следующих функций, заданных неявно:
а) y = x + arctg y; б) x
2
+ 2xy −y
2
= 0.
Решение: а) в данном случае Φ(x, y) = x + arctg y − y, поэтому
y
′
x
= −
1
1
1 + y
2
− 1
= −
1 + y
2
−y
2
=
1
y
2
+ 1. Для отыскания y
′′
xx
диффе-
ренцируем по x последнее соотношение, учитывая, что y является
функцией от x. Получаем y
′′
(x) = −
2
y
3
y
′
, но y
′
=
y
2
+ 1
y
2
, поэтому
y
′′
(x) = −
2(1 + y
2
)
y
5
;

Страницы