ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.7. Геометрический и механический смысл производной 145
Вектор (−2, 12, −18) k (1, −6, 9). Поэтому в качестве вектора нор-
мали касательной плоскости можно принять вектор N(1, −6, 9). За-
писываем уравнение касательной плоскости (x −1) −6(y −2) + 9(z −
−3) = 0, или x − 6y + 9z − 16 = 0, и нормали
x − 1
1
=
y − 2
−6
=
z − 3
9
.
Задачи для самостоятельного решения
4.7.10. Дан закон движения материальной точки по оси OX:
x(t) = 2t + t
3
. Найдите её скорость и ускорение в момент времени
t = 2 (x дается в сантиметрах, t — в секундах).
Ответ: v = 14 см/c, a = 12 см/c
2
.
4.7.11. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/c.
С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объём шара
в тот момент, когда его радиус равен 50 см?
Ответ: 0,2π м
2
/c; 0,05π м
3
/c.
4.7.12. Точка движется по гиперболе y = 10/x так, что её абс-
цисса растёт равномерно со скоростью 3 см/c. С какой скоростью
изменяется её ордината, когда точка проходит положение (5, 2)?
Ответ: −1,2 см/c.
4.7.13. Составьте уравнения касательной и норм али к графику
функций: а) y = 3x
4
− 5x
2
+ 4 в точке x
0
= −1;
б) y = 3x
2
+ 4x + 5 в точке x
0
= −2.
Ответы: а) 2x + y = 0, x − 2y + 5 = 0; б) 8x + y + 7 = 0,
x − 8y + 74 = 0.
4.7.14. Составьте уравнения касательной и норм али к графику
функции, заданной неявно следующими уравнениями:
а) 4x
3
− 3xy
2
+ 6x
2
− 5xy − 8y
2
+ 9x + 14 = 0 в точке (−2, 3);
б) x
3
+ y
3
− 3xy = 3 в точке (2, 1).
Ответы: а) 9x + 2y + 12 = 0, 2x −9y + 31 = 0; б) 3x −y −5 = 0,
x + 3y − 5 = 0.
4.7.15. Докажите, что уравнение касательной:
а) к эллипсу
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 в точке (x
1
, y
1
) можно записать
в виде
xx
1
a
2
+
yy
1
b
2
= 1;
б) к гиперболе
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 в точке (x
2
, y
2
) — в виде
xx
2
a
2
−
yy
2
b
2
= 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- …
- следующая ›
- последняя »
