Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.8. Дифференциал 147
4.7.22. К гиперболоиду 6x
2
+ 15y
2
− 10z
2
= 300 проведена ка-
сательная плоскость, отсекающая на положительных координатных
полуосях равные отрезки. Запишите её уравнение.
Ответ: x + y + z = 2
√
10.
4.7.23. К поверхности x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
= 21 проведена касательная
плоскость, параллельная плоскости x + 4y + 6z = 0 и пересекающая
положительные координатные полуоси. Запишите её уравнение.
Ответ: x + 4y + 6z − 21 = 0.
4.8. Дифференциал (задачи 10 и 11)
Рекомендуется изучить пп. 2.10, 2.11 и 2.12.
Как мы уже отмечали, функция f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
m
называет-
ся дифференцируемой в точке M
0
(x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
), если ее прираще-
ние при переходе из точки M
0
в точку M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) может быть
представлено в виде
∆f = A · ∆x + α(∆x), (а)
где A — матрица размера m × n (производная матрица) ли-
нейного оператора. A : R
n
→ R
m
, ∆x = (∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
)
T
—
вектор приращений (∆x
i
= x
i
− x
0
i
); α(∆x) — бесконечно малая
вектор-функция порядка выше первого относительно |∆x|, т.е.
lim
∆x
i
→0
|α(∆x)|
|∆x|
= 0. Матрицу A называют производной матрицей
отображения f, а произведение A∆x называют дифференциалом
функции f в точке M
0
и обозначают df, при этом полагают ∆x =
= dx = (dx
1
, dx
2
, . . . , dx
n
)
T
. Таким образом, дифференциал — это
значение линейного оператора A для вектора приращений ∆x.
Как следует из (а), дифференциал функции есть величина бес-
конечно малая при ∆x → 0, эквивалентная приращению ∆f, если
матрица A не нулевая.
В случае f : X ⊂ R → Y ⊂ R, т.е. скалярной функции одного ска-
лярного аргумента, имеем
df = f
′
(x
0
)dx. (б)
В случае f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R, т.е. скалярной функции
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) векторного аргумента, имеем
df =
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
dx
1
dx
2
.
.
.
dx
n
=
=
∂f
∂x
1
dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
+ . . . +
∂f
∂x
n
dx
n
.
(в)

Страницы