Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.8. Дифференциал 149
при условии, что изменяется только аргумент x
1
, а остальные посто-
янны. Из решения задачи 19.2 следует, что d
x
f
1
= (sin y + y cos x)dx,
d
y
f
1
= (x · cos y + sin x)dy.
Чтобы найти дифференциал векторной функции скалярного или
векторного аргумента, нужно найти дифференциалы их координат-
ных функций, так как если f =
f
1
f
2
.
.
.
f
n
, то df =
df
1
df
2
.
.
.
df
n
.
4.8.3. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(t) =
sin t
2
cos t
2
t
2
; f
2
(x, y) =
x
y
2
y
x
2
.
Решение. По правилу отыскания дифференциала векторных
функций находим df
1
(t) =
d(sin t
2
)
d(cos t
2
)
d(t
2
)
=
"
2t cos t
2
dt
−2t sin t
2
dt
2tdt
#
;
df
2
(x, y) =
d
x
y
2
d
y
x
2
=
1
y
2
dx −
2x
y
3
dy
−
2y
x
3
dx +
1
x
2
dy
.
4.8.4. Дано: функция f(x) = x
2
+ 2; x
0
= 1,0000; x
1
= 1,0200. Вы-
числите дифференциал и приращение функции при переходе из точ-
ки x
0
в x
1
. Оц ените абсолютную и относительную погрешность, до-
пускаемую при замене приращения функции дифференциалом.
Решение. df = f
′
(x
0
)dx = f
′
(x
0
)∆x = f
′
(x
0
)(x
1
− x
0
). В нашем
примере f
′
(x) = 2x, f
′
(x
0
) = f
′
(1) = 2,0000; x
1
− x
0
= 1,0200−
− 1,0000 = 0,0200, поэтому df = 2 · 0,0200 = 0,0400;
∆f = f(x
1
) −f(x
0
) = (1,0200)
2
+ 2,0000 −(1,0000
2
+ 2,0000) = 0,0404.
Как видим, |∆f − df| = 0,0004, т.е. абсолютная погрешность при
замене приращения функции диффере нциалом в данном случае со-
ставила 0,0004, а относительная погрешность равна
∆f − df
∆f
=
=
0,0004
0,0404
≈ 0,0099, что составляет примерно 1%.
В приближенных вычислениях иногда используют прием замены
приращения функции дифференциалом.
4.8.5. Заменяя приращение функции её дифференциалом, вычис-
лите приближенно (1,0300)
5
. Оцените абсолютную и относительную
погрешность, допускаемую при этом.

Страницы