Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.8. Дифференциал 151
или нескольких аргументов; дифференциал функции f(x, y) записы-
вается в форме df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy независимо от того, являются ли
x и y независимыми переменными или сами являются функциями
одного или многих аргументов.
4.8.7. Найдите дифференциал следующих функций:
а) z = f
1
(t), t = x
3
; б) z = f
2
(t), t = xy
2
+ x
2
y;
в) z = f
3
(u, v), u = x
2
, v = x
3
;
г) z = f
4
(u, v), u = x
2
+ y
2
, v = x
2
− y
2
,
где f
1
, f
2
, f
3
, f
4
— любые дифференцируемые функции.
Решение. Во всех четырёх функциях аргументы t, u, v не явля-
ются независимыми. При отыскании дифференциалов будем исполь-
зовать свойство инвариантности формы его записи:
а) df
1
= f
′
1
(t)dt = f
′
1
(t) · 3x
2
dx;
б) df
2
= f
′
2
(t)dt = f
′
2
(t)[(y
2
+ 2xy)dx + (2xy + x
2
)dy];
в) df
3
=
∂f
3
∂u
(u, v)du +
∂f
3
∂v
(u, v)dv =
∂f
3
∂u
· 2xdx +
∂f
3
∂v
· 3x
2
dx =
=
∂f
3
∂u
· 2x +
∂f
3
∂v
· 3x
2
dx;
г) df
4
=
∂f
4
∂u
(u, v)du +
∂f
4
∂v
(u, v)dv =
∂f
4
∂u
· (2xdx + 2ydy) +
+
∂f
4
∂v
· (2xdx − 2ydy) =
∂f
4
∂u
+
∂f
4
∂v
· 2xdx +
∂f
4
∂u
−
∂f
4
∂v
· 2ydy.
Дифференциал является функцией точки и приращений аргу-
ментов. Приращения аргументов будем полагать в заданном про-
цессе постоянными и не з ависящими от выбора точки. При таком
соглашении дифференциал является функцией от тех же аргумен-
тов, что и исходная функция, т.е. если z = f (x, y), то dz = ϕ(x, y).
Можно найти дифференциал от дифференциала d(dz) = dϕ(x, y).
Его обозначают d(dz) = d
2
z и называют вторым дифференциалом
или дифферен циалом второго порядка. В этой схеме дифференци-
ал dz называют первым дифференциалом. Аналогично можно вве-
сти понятие дифференциала любого порядка: d(d
2
z) = d
3
z — третий
дифференциал, . . . , d(d
(n−1)
z) = d
(n)
z — дифференциал порядка n.
Для скалярной функции y = f(x) одного скалярного аргумента x
легко находим (учитывая соглашение о независимости dx от x)
d
2
f = d(f
′
(x)dx) = f
′′
(x)(dx)
2
, d
3
f = f
′′′
(x)(dx)
3
, . . . , d
n
f =
= f
(n)
(x)(dx)
n
.
Подчеркнём ещё раз, что в этих соотношениях x — независимая
переменная. Если же x = x(t), т.е. x является функцией другого

Страницы