Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.8. Дифференциал 153
Во всех предыдущих примерах мы искали дифференциал явно
заданных функций. В случае неявно заданных функций или задан-
ных параметрически меняется лишь правило отыскания производ-
ных.
4.8.10. Найдите dy и d
2
y, если функция y(x) задана неявно урав-
нением e
y
− x − y = 0.
Решение. По правилу отыскания производных от неявно задан-
ных функций (см. п. 2.7) находим
y
′
x
= −
−1
e
y
− 1
, y
′′
= −
e
y
· y
′
x
(e
y
− 1)
2
= −
e
y
·
1
e
y
− 1
(e
y
− 1)
2
= −
e
y
(e
y
− 1)
3
.
Поэтому dy =
dx
e
y
− 1
, d
2
y =
−e
y
(e
y
− 1)
3
(dx)
2
. Так как e
y
= x + y, то
dy =
dx
x + y −1
, d
2
y = −
(x + y)
(x + y −1)
3
(dx)
2
. Можно поступить и по-
другому. Найдем дифференциал от обеих частей тождества e
y
−x −
−y = 0: e
y
dy −dx−dy = 0, отсюда dy =
dx
e
y
− 1
. Дифференцируя еще
раз, получаем e
y
(dy)
2
+ e
y
d
2
y − d
2
y = 0, отсюда d
2
y =
−e
y
(dy)
2
e
y
− 1
=
=
−e
y
(dx)
2
(e
y
− 1)
3
.
4.8.11. Найдите dz и d
2
z, если функция z(x, y) задана неявно
уравнением x
3
+ 2y
3
+ z
3
− 3z − 2y + x + 1 = 0.
Решение. Возьмем дифференциал от обеих частей тождества
x
3
+ 2y
3
+ [z(x, y)]
3
− 3z(x, y) − 2y + x + 1 = 0:
3x
2
dx + 6y
2
dy + 3z
2
dz − 3dz −2dy + dx = 0 (∗)
или (3x
2
+ 1)dx + (6y
2
− 2)dy + (3z
2
− 3)dz = 0. Отсюда
dz =
(3x
2
+ 1)
3 − 3z
2
dx +
(6y
2
− 2)
3 − 3z
2
dy. Чтобы найти d
2
z, возьмём диффе-
ренциал от обеих частей тождества (∗):
6x(dx)
2
+ 12y(dy)
2
+ 6z(dz)
2
+ (3z
2
− 3)d
2
z = 0. (∗∗)
Отсюда d
2
z =
6x(dx)
2
+ 12(dy)
2
+ 6z
2
(dz)
2
3 − 3z
2
. Если внести сюда ра-
нее найденное значение dz, то получим окончательный ответ. Под-
черкнём, что соотношения (∗) и (∗∗) — тождества относительно x и
y, но уравнения относительно других переменных.

Страницы