Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

154 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Задачи для самостоятельного решения
4.8.12. Найдите дифференциал функции y(x), если:
а) y =
1
x
2
; б) y = ln |x +
√
x
2
+ a|; в) y = arcsin
x
a
, a 6= 0.
Ответы: а) dy = −
2dx
x
3
; б) dy =
dx
√
x
2
+ a
; в) dy =
|a|
a
·
dx
√
a
2
− x
2
.
4.8.13. Найдите дифференциал функции, если:
а) u =
x
y
; б) u = x
y
; в) u = xy + yz + zx.
Ответы: а) du =
1
y
dx −
x
y
2
dy; б) du = yx
y −1
dx + x
y
ln xdy;
в) du = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz.
4.8.14. Найдите дифференциалы следующих функций:
а) f(x) =
e
x
2
sin
2
x
cos
2
x
; б) f(x) =
p
x
2
+ y
2
x
2
y
2
.
4.8.15. Вычислите дифференциал и приращение функции при
переходе из точки x
0
в точку x
1
. Оце ните абсолютную и относитель-
ную погрешность замены приращения дифференциалом в следую-
щих случаях:
а) y = 2x
2
+ 4x + 1, x
0
= 3,0000, x
1
= 3,0400;
б) y = 5x
3
− x
2
+ 3, x
0
= 1,0000, x
1
= 1,0100.
Ответы: а) ∆y = 0,6432, dy = 0,6400;
б) ∆y = 0,1314, dy = 0,1300.
4.8.16. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычис-
лите, округлив до 0,0001:
а)
√
4,0120; б)
3
√
0,9843.
Ответы: а) 2,0030; б) 0,9948.
4.8.17. Найдите приращение функции и её дифференциал при
переходе из точки M
0
(x
0
, y
0
) в точку M
1
(x
1
, y
1
), оцените абсолютную
и относительную погрешность замены приращения функции диффе-
ренциалом в следующих случаях:
а) z = x
3
y
2
, M
0
(2, 1), M
1
(1,9900; 1,0200);
б) z = 3x
2
+ xy − y
2
+ 1, M
0
(1, 2), M
1
(1,0100; 2,0200).
Ответы: а) ∆z
∼
=
0,1990, dz = 0,2000;
б) ∆z = 0,0201, dz = 0,0200.
4.8.18. Заменяя приращение функции дифференциалом, прибли-
женно вычислите:
а) 1,002 · (2,003)
2
+ (3,004)
3
; б)
p
(1,020)
3
+ (1,970)
3
.
Ответы: а) 31,128; б) 2,950.

Страницы