Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

152 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
аргумента, то d(dx) 6= 0 и записанные выражения для дифферен-
циалов несправедливы. В этом случае d
2
f = f
′′
(x)(dx)
2
+ f
′
(x)d
2
x.
Видим, что дифференциалы высших порядков, начиная со второго,
свойством инвариантности формы записи не обладают.
Для функции z = f(x, y), если x и y — независимые переменные,
легко находим
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy,
d
2
z =
∂
2
f
∂x
2
(dx)
2
+ 2
∂f
∂x∂y
dxdy +
∂
2
f
∂y
2
(dy)
2
,
d
3
z =
∂
3
f
∂x
3
(dx)
3
+ 3
∂
3
f
∂y∂x
2
(dx)
2
dy + 3
∂
3
f
∂y
2
∂x
dx(dy)
2
+
+
∂
3
f
∂y
3
(dy)
3
и т.д.
4.8.8. Найдите дифференциал указанного порядка от следующих
функций:
а) y = x
5
, d
5
y; б) y =
1
√
x
, d
4
y; в) y = xe
2x
, d
10
y.
Решение. а) y
(5)
= (x
5
)
(5)
= 120, d
5
y = 120(dx)
5
;
б) y = x
−1/2
, y
′
= −
1
2
x
−3/2
, y
′′
=
3
4
x
−5/2
, y
′′′
= −
15
8
x
−7/2
,
y
(4)
=
105
16
x
−9/2
, d
4
y =
105
16
1
x
4
√
x
(dx)
4
;
в) применяя формулу Лейбница, находим
(x·e
2x
)
(10)
= x(e
2x
)
(10)
+10·(e
2x
)
(9)
= 2
10
·xe
2x
+10·2
9
e
2x
, поэтому
d
10
y = 2
9
e
2x
(2x + 10)(dx)
10
.
4.8.9. Найдите дифференциал второго порядка от следующих
функций: а) z = y ln x; б) z = e
xy
.
Решение: а) находим частные производные второго порядка от
функции z = y ln x:
∂z
∂x
=
y
x
,
∂
2
z
∂x
2
= −
y
x
2
,
∂z
∂y
= ln x,
∂
2
z
∂y
2
= 0,
∂
2
z
∂y∂x
=
∂
2
z
∂x∂y
=
1
x
, поэтому
d
2
z = −
y
x
2
(dx)
2
+
2
x
dxdy;
б) поскольку
∂
2
z
∂x
2
= y
2
e
xy
,
∂
2
z
∂x∂y
= (xy + 1)e
xy
,
∂
2
z
∂y
2
= x
2
e
xy
, то d
2
z = [y
2
(dx)
2
+ 2(xy + 1)dxdy + x
2
(dy)
2
]e
xy
.

Страницы