Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

150 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Решение. Примем f(x) = x
5
, x
0
= 1,0000, x
1
= 1,0300, ∆x =
= 1,0300 −1,0000 = 0,0300. Можем записать
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
) = ∆f(x
0
),
f(x
0
+ ∆x) = f (x
0
) + ∆f(x
0
) ≈ f(x
0
) + df(x
0
).
В нашей задаче
f(x
0
) = f(1,0000) = 1,0000,
f(x
0
+ ∆x) = (1,0300)
5
,
∆f(x
0
) ≈ df (x
0
) = 5x
4
0
∆x = 5 · 1,0000
4
· 0,0300 = 0,1500.
Поэтому (1,0300)
5
≈ 1,0000 + 0,1500 = 1,1500. Точное вычисление
дает (1,0300)
5
= 1,1592740743 ≈ 1,1593, т.е. допущена абсолютная
погрешность ∆ = |1,1500 − 1,1593|
∼
=
0,0093, а относительная δ =
=
0,0093
1,1593
≈ 0,008, т.е. менее одного процента.
4.8.6. Даны функция z(x, y) = 2x
2
− 3xy − 4y
2
и точки
M
0
(2,00; −3,00) и M
1
(2,01; −2,97). Вычислите ∆z и dz при пе-
реходе из точки M
0
в M
1
. Вычислите приближенно, заменяя ∆z
величиной dz, значение f (M
1
). Укажите абсолютную и относитель-
ную погрешность, допускаемую при этом.
Решение. Находим ∆z = z(M
1
) − z(M
0
), z(M
1
) = 2 · (2,01)
2
−
−3 · 2,01(−2,97) − 4(−2,97)
2
= 8,08 + 17,91 − 35,28 = −9,29,
z(M
0
) = 8,00 + 18,00 −36,00 = −10,00, ∆z = −9,29 −(−10, 00) = 0,71.
По формуле (в) находим
dz(x
0
, y
0
, dx, dy) =
∂z
∂x
(M
0
)dx +
∂z
∂y
(M
0
)dy,
∂z
∂x
= 4x −3y,
∂z
∂x
(M
0
) = 8,00 + 9,00 = 17,00,
∂z
∂y
= −3x −8y,
∂z
∂x
(M
0
) = −6,00 + 24,00 = 18,00,
∆x = 2,01 − 2,00 = 0,01 = dx, ∆y = −2,97 − (−3,00) = 0,03 = dy,
поэтому
dz(M
0
) =
∂z
∂x
(M
0
)dx +
∂z
∂y
(M
0
)dy = 17,00 · 0,01 + 18,00 ·0,03 =
= 0,17 + 0,54 = 0,71, z(M
1
) ≈ z(M
0
) + df = −10,00 + 0,71 = −9,29.
Как видим, с точностью до сотых величины dz и ∆z совпали
между собой. Они могут отл ичаться лишь в тысячных долях.
Итак, дифференциал — это линейная относительно
∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
функция. При малых ∆x
i
дифференциал
мало отличается от приращения функции.
Дифференциал обладает свойством инвариантности формы запи-
си, заключающемся в следующем: дифференциал функции y = f(x)
записывается в виде dy = f
′
(x)dx, как в случае, когда x — независи-
мая переменная, так и в случае, когда x является функцией одного

Страницы