Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

148 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Для скалярной функции y = f(x) одного аргумента дифферен-
циал равен приращению ординаты касательной к графику функции
в точке x
0
при переходе от точки x
0
к x, а для функции z = z(x, y) —
приращению аппликаты касательной плоскости при переходе из точ-
ки (x
0
, y
0
) в точку (x, y).
Заметим, что дифференциал суммы, произведения и частного
можно находить по формулам, подобным соответствующим форму-
лам для производных, т.е. d(u + v) = du + dv, d(u · v) = vdu + udv,
d
u
v
=
vdu − udv
v
2
. Последние две формулы имеют место лишь для
скалярнозначных функций.
4.8.1. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(x) = e
x
2
sin 5x
; f
2
(x) = tg x
4
.
Решение. Данные функции являются скалярными функциями
одного скалярного аргумента. Поэтому по формуле (б) находим
df
1
= f
′
1
(x)dx = e
x
2
sin 5x
(2x sin 5x + 5x
2
cos 5x)dx;
df
2
= f
′
2
(x)dx =
1
cos
2
x
4
· 4x
3
dx.
4.8.2. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(x, y) = x sin y + y sin x; f
2
(x, y, z) = xyz + y
2
;
f
3
(x, y) = x + y
x/y
.
Решение. Данные функции являются скалярными функциями
векторного аргумента, поэтому применяем формулу (в):
df
1
=
∂f
1
∂x
dx +
∂f
1
∂y
dy = (sin y + y cos x)dx + (x cos y + sin x)dy;
df
2
=
∂f
2
∂x
dx +
∂f
2
∂y
dy +
∂f
2
∂z
dz = yzdx + (xz + 2y)dy + xydz;
df
3
=
∂f
3
∂x
dx +
∂f
3
∂y
dy =
1 + y
(x/y)
ln y ·
1
y
dx+
+y
(x/y)
·
−
x
y
2
ln y +
x
y
2
dy.
Заметим, что при фиксированном y функция y
(x/y)
показательная, а
при фиксированном x — степенно-показательная: y
(x/y)
= e
(x/y)·ln y
.
Найденные дифференциалы функций f
1
, f
2
, f
3
иногда называют
полными. Они находятся при условии, что изменяются все аргу-
менты. Дифф еренци ал, вычисленный, при условии, что изменяется
только один аргумент, а остальные — константы, называют частным
и обозначают d
x
1
f, d
x
2
f, . . . , d
x
n
f. Например, d
x
1
f =
∂f
∂x
1
dx
1
. Вели-
чина d
x
1
f есть дифференциал функции f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), найденный

Страницы