Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

156 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
4.8.23. Найдите dy и d
2
y, если функция y(x) задана неявно урав-
нениями: а) x
2
+ 2xy − y
2
= a
2
; б) y − 2x · arctg
y
x
= 0.
Ответы: а) dy =
x + y
y − x
dx,
d
2
z =
2a
2
(x − y)
3
(dx)
2
; б) dy =
y
x
dx, d
2
y = 0.
4.8.24. Найдите dz и d
2
z, если функция z(x, y) задана неявно
уравнениями: а) xyz = x + y + z; б)
x
z
= ln
z
y
+ 1.
Ответы: а) dz =
(yz − 1)dx + (xz −1)dy
1 − xy
,
d
2
z =
2y(yz − 1)(dx)
2
+ 4zdxdy + 2x(xz −1)(dy)
2
(1 − xy)
2
;
б) dz =
z(ydx + zdy)
y(x + z)
, d
2
z = −
z
2
(ydx − xdy)
2
y
2
(x + z)
3
.
4.9. Экстремумы. Наибольшие и наименьшие
значения функции (задачи 12 и 13)
В подразделах 2.16.1 и 2.16.2 приведены необходимые и достаточ-
ные условия экстремума, которые рекомендуется изучить.
4.9.1. Пользуясь первой производной, найдите экстремумы
функций: а) f(x) = x
3
− 3x
2
+ 3x + 2;
б) f(x) = x
4
− 8x
3
+ 22x
2
− 24x + 12;
в) f(x) = x
2/3
− (x
2
− 1)
1/3
.
Решение: а) так как функция f(x) дифференцируема всюду, то
экстремум возможен только в стационарных точках. Находим их,
приравнивая нулю производную:
f
′
(x) = 3x
2
− 6x + 3 = 3(x
2
− 2x + 1) = 3(x − 1)
2
= 0.
Стационарная точка е динственна: x
0
= 1. При переходе через точ-
ку x
0
= 1 производная знака не меняет. По достаточному признаку,
связанному с первой производной, в точке x
0
= 1 экстремума нет;
б) f
′
(x) = 4x
3
− 24x
2
+ 44x − 24 = 4(x − 1)(x − 2)(x − 3). Видим,
что точки x
1
= 1, x
2
= 2, x
3
= 3 являются стационарными.
Применяя метод интервалов, по-
Рис. 4.1.
лучаем, что на (−∞, 1) функция убы-
вает, а на (1, 2) — возрастает. При пе-
реходе через точку x
1
= 1 (рис. 4.1)
производная меняет знак по схеме (−, +), следовательно, в точке

Страницы