Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

158 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Решение: а) функция z(x, y) имеет непрерывные частные произ-
водные любого порядка на всей плоскости, поэтому применимы до-
статочные условия экстремума (см. п. 1.16.2). Стационарные точки
находим из условия
∂z
∂x
= 0,
∂z
∂y
= 0. В результате получаем систему
∂f
∂x
= 3x
2
+ 3y
2
− 15 = 0,
∂f
∂y
= 6xy − 12 = 0,
или
x
2
+ y
2
− 5 = 0,
xy − 2 = 0.
Решая эту систему, получаем четыре стационарные точки:
M
1
(−2, −1), M
2
(−1, −2), M
3
(1, 2), M
4
(2, 1). Находим вторые част-
ные производные:
∂
2
z
∂x
2
= 6x,
∂
2
z
∂x∂y
= 6y,
∂
2
z
∂y
2
= 6x.
Для M
1
(−2, −1):
A =
∂
2
z
∂x
2
(M
1
) = −12, B =
∂
2
z
∂x∂y
(M
1
) = −6,
C =
∂
2
z
∂y
2
(M
1
) = −12, AC − B
2
= 144 − 36 > 0.
Так как A < 0, AC − B
2
> 0, то в точке M
1
— максимум.
Для M
2
(−1, −2):
A = −6, B = −12, C = −6, AC − B
2
= 36 − 144 < 0.
В точке M
2
экстремума нет.
Для M
3
(1, 2):
A = 6, B = 12, C = 6, AC − B
2
= 36 − 144 < 0.
В точке M
2
экстремума нет.
Для M
4
(2, 1):
A = 12, B = 6, C = 12, AC − B
2
= 144 − 36 > 0.
Так как A > 0, AC − B
2
> 0, то в точке M
4
имеем минимум;
б) в данном случае
∂z
∂x
= 2x − 2y
2
,
∂z
∂y
= −4xy + 4y
3
− 5y
4
.
Стационарные точки находим, решая систему
x − y
2
= 0,
−4xy + 4y
3
− 5y
4
= 0.
Имеем единственную стационарную точку O(0, 0). Для её исследо-
вания находим
∂
2
z
∂x
2
= 2,
∂
2
z
∂x∂y
= −4y,
∂
2
z
∂y
2
= −4x + 12y
2
− 20y
3
,
A = 2, B = C = 0; AC − B
2
= 0. О существовании экстремума из
этих соотношений никакого вывода сделать нельзя. При этих усло-
виях d
2
f(0, 0) = 2(∆x)
2
, а поэтому d
2
f(0, 0) = 0 для любого вектора
приращений вида (0, ∆y).

Страницы