Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

160 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
б) составляем функцию F (x, y, z) = 3 − 2x − 4y + λ(x
2
+ y
2
− 5),
находим:
∂F
∂x
= −2 + 2λx,
∂F
∂y
= −4 + 2λy,
∂F
∂λ
= x
2
+ y
2
− 5.
Для отыскания точек, “подозрительных” на условный экстремум,
получаем систему
(
−1 + λx = 0,
−2 + λy = 0,
x
2
+ y
2
= 5,
решая которую, находим λ
1
= 1,
x
1
= 1, y
1
= 2; λ
2
= −1, x
2
= −1, y
2
= −2. Так как
∂
2
F
∂x
2
= 2λ,
∂
2
F
∂y∂x
=
= 0,
∂
2
F
∂y
2
= 2λ, то d
2
F = 2λ
(dx)
2
+ (dy)
2
.
Если λ = λ
1
= 1, то d
2
F > 0 и в точке M
1
(1, 2) имеется условный
минимум, равный 3 − 2 − 8 = −7. Если же λ = λ
2
= −1, то d
2
F < 0
и в точке M
2
(−1, −2) функция z(x, y) имеет условный максимум,
равный 3 + 2 + 8 = 13.
По теореме Вейерштрасса всякая непрерывная на замкнутом
множестве D функция достигает своего наибольшего и наименьше-
го значения. Соответствующие точки могут быть либо внутренн и ми,
либо граничными множества D. Для их отыскания можно приме-
нять такую схему: найти все точки, “подозрительные” на экстремум
внутри множества D и на его границе, вычислить значения во всех
найденных точках и из них выбрать наибольшее и наименьшее. Как
видим, исследовать функцию на экстремум в этом случае не требу-
ется.
4.9.5. Найдите наибольшее и наименьшее значе ния функции
y =
3
p
(x
2
− 2x)
2
на [−1, 3].
Решение. Находим критические точки данной функции, при-
равнивая нулю её производную y
′
=
2(2x − 2)
3
3
√
x
2
− 2x
. В точке x
1
= 1
производная равна нулю, в точках x
2
= 2 и x
3
= 0 производная
не существует. Все эти точки внутренние отрезка [−1, 3]. Точки
x
4
= −1 и x
5
= 3 являются граничными. Вычисляем значение функ-
ции во всех найденных точках: y(x
1
) = y(1) = 1, y(x
2
) = y(2) = 0,
y(x
3
) = y(0) = 0, y(x
4
) = y(−1) =
3
√
9, y(x
5
) = y(3) =
3
√
9. Видим,
что наименьш ее значение m = 0, оно достигается в точках x
2
= 2
и x
3
= 0, а наибольшее — M =
3
√
9. Оно достигается в граничных
точках x
4
= −1 и x
5
= 3.

Страницы