Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.9. Экстремумы 161
4.9.6. Требуется изготовить коническую воронку с образующей,
равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы объём её
был наибольшим?
Решение. Будем считать нижнее основание
Рис. 4.3.
воронки пренебрежимо малым по сравнению с
верхним. Тогда форма воронки — конус. Обозна-
чим x = |OA| — высоту воронки (рис. 4.3). Тогда
R = |OB| =
p
(AB)
2
− x
2
. По условию |AB| =
= 20 см. Поэтому R =
√
400 − x
2
и 0 ≤ x ≤ 20,
отрицательные значения x не имеют физического
смысла. Находим наибольшее значение функции
V =
1
3
πR
2
H =
1
3
π · x(400 − x
2
) на [0, 20];
V
′
(x) =
1
3
π(400 −x
2
− 2x
2
) =
1
3
π(400 −3x
2
).
Из условия V
′
(x) = 0 получаем x = ±
20
√
3
= ±
20
√
3
3
, отрица-
тельное значение не принадлежит [0, 20]. Поэтому x =
20
√
3
3
. При
этом значении x объём V будет наибольшим, так как наименьшее
значение V = 0 достигается при x = 0 и x = 20. Итак, при высоте
H =
20
√
3
3
объём воронки будет наибольшим.
4.9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
z(x, y) = x
2
− 2y
2
+ 4xy − 6x − 1 в треугольнике, ограниченном пря-
мыми x = 0, y = 0, x + y = 3 (область D на рис. 4.4).
Решение. Находим стационарные точки из системы
∂z
∂x
= 2x + 4y − 6 = 0,
∂z
∂y
= −4y + 4x = 0.
Получаем единственную точку M
1
(1, 1). Она лежит внутри об-
ласти D. z(M
1
) = z(1, 1) = 1 − 2 + 4 − 6 −1 = −4. Вычислим также
значение функции z(x, y) в точках A, B, O: z(0, 0) = −1, z(3, 0) =
= 9 − 18 − 1 = −10, z(0, 3) = −18 − 1 = −19. На прямой x + y = 3
имеем
z(x, y) = z(x, 3 − x) = x
2
− 2(3 − x)
2
+ 4x(3 − x) − 6x − 1 =
= x
2
−18 + 12x −2x
2
+ 12x −4x
2
−6x −1 = −5x
2
+ 18x −19 = 0.

Страницы