Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

162 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Получили функцию от одного ар-
Рис. 4.4.
гумента f
1
(x) = −5x
2
+ 18x − 19. Ищем
её критические точки на [0, 3]: f
′
1
(x) =
= −10x + 18, x =
9
5
,
9
5
∈ [0, 3], f
1
9
5
=
= −
81
5
+
90
5
−19 = −
86
5
. При x = 0 и x =
= 3 приходим к точкам O(0, 0) и A(3, 0).
На границе OB получаем z(0, y) =
= −2y
2
− 1 = 0 = f
2
(y).
Получили функцию f
2
(y) = −2y
2
−
−1. Ищем её наибольшее и наимень-
шее значения на [0, 3]: f
′
2
(y) = −4y = 0,
y = 0, опять получили точку (0, 0). При y = 0 и y = 3 получаем уже
учтенные точки O(0, 0) и B(0, 3). На границе OA имеем функцию
z(x, 0) = f
3
(x) = x
2
− 6x − 1. Ищем её наибольшее и наименьшее зна-
чения на [0, 3]: f
′
3
(x) = 2x − 6, x = 3, опять получили точку A(3, 0).
При x = 0 получаем точку (0, 0).
Итак, мы нашли следующие значения функции: −4, −1, −19,
−
86
5
. Сравнивая их, видим, что наибольшее значение функции в дан-
ной области равно −1, оно достигается в точке O(0, 0), а наименьшее
равно −19, оно достигается в точке B(0, 3).
Для исследования поведения функции на границе области можно
применять приемы отыскания условного экстремума.
4.9.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2xy в области x
2
+ y
2
≤ 1.
Решение.
∂z
∂x
= 2y,
∂z
∂y
= 2x. Находим из условия равенства нулю
частных производных единственную стационарную точку M
0
(0, 0),
расположенную внутри круга x
2
+ y
2
≤ 1, z(0, 0) = 0. Для отыскания
наибольшего и наименьшего значений на окружности x
2
+ y
2
= 1 по-
ступим так же, как в задачах на условный экстремум. Составим
функцию Лагранжа F (x, y, λ) = 2xy + λ(x
2
+ y
2
− 1) и найдем точ-
ки, в которых возможны наибольшее и наименьшее значения. Из
системы
∂F
∂x
= 2y + 2λx = 0,
∂F
∂y
= 2x + 2λy = 0,
∂F
∂λ
= x
2
+ y
2
− 1 = 0.

Страницы